Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm點P從點B出發(fā)，沿BA方向以每秒2cm的速度向終點A運動，運動時間為t秒；
（1）用含t的代數(shù)式表示AP=10-t；
（2）當點P出發(fā)多長時間，△ACP為等腰三角形？
（3）同時，動點Q從點A出發(fā)沿AC方向以每秒1cm的速度向終點C運動，連接CP、QP，將△PQC沿AC翻折，點P的對應點為點P′．是否存在某個時刻四邊形QPCP′為菱形？若存在求出t；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，得出AB的長，進而得出AP=AB-t．
（2）分AC=AP，CP=AP兩種情況解答即可；
（3）過點P作PM⊥AC于M，根據(jù)菱形的性質(zhì)得PQ=PA，則得出t即可．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10$cm，
∴AP=AB-t=10-2t，
故答案為：10-2t；
（2）當△ACP為等腰三角形，AC=AP=6，
∴PB=AB-AP，
可得：2t=10-6=4；
解得：t=2；
當△ACP為等腰三角形，CP=AP，
∴BP=AB-AP=CP=5，
∴2t=5；
解得：t=2.5；
答：點P出發(fā)2或2.5秒，△ACP為等腰三角形；
（3）當t=$\frac{60}{17}$時，四邊形PQP′A是菱形，

如圖過點P作PM⊥AC于M，
∵AQ=t，由（2）可知，AM=$\frac{1}{2}$AQ=$\frac{1}{2}$tcm，
∴AP=PQ，AP=10-2t，
$\frac{\frac{1}{2}t}{10-2t}=\frac{6}{10}$，
解得：t=$\frac{60}{17}$，
當t=$\frac{60}{17}$時，四邊形PQP′A是菱形．

點評 此題主要考查了四邊形綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理、菱形的性質(zhì)等知識點解答，是中考壓軸題，難度偏大，正確利用菱形的判定進行解答是解題關(guān)鍵．