Question

【題目】如圖，直線y=k1x（x≥0）與雙曲線y= （x＞0）相交于點(diǎn)P（2，4）．已知點(diǎn)A（4，0），B（0，3），連接AB，將Rt△AOB沿OP方向平移，使點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)P，得到△A'PB'．過點(diǎn)A'作A'C∥y軸交雙曲線于點(diǎn)C．

（1）求k1與k2的值；
（2）求直線PC的表達(dá)式；
（3）直接寫出線段AB掃過的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點(diǎn)P（2，4）代入直線y=k1x，可得4=2k1，

∴k1=2，

把點(diǎn)P（2，4）代入雙曲線y= ，可得k2=2×4=8

（2）

解：∵A（4，0），B（0，3），

∴AO=4，BO=3，

如圖，延長(zhǎng)A'C交x軸于D，

由平移可得，A'P=AO=4，

又∵A'C∥y軸，P（2，4），

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2+4=6，

當(dāng)x=6時(shí)，y= = ，即C（6， ），

設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，

把P（2，4），C（6， ）代入可得

，解得 ，

∴直線PC的表達(dá)式為y=﹣ x+

（3）

解：如圖，延長(zhǎng)A'C交x軸于D，

由平移可得，A'P∥AO，

又∵A'C∥y軸，P（2，4），

∴點(diǎn)A'的縱坐標(biāo)為4，即A'D=4，

如圖，過B'作B'E⊥y軸于E，

∵PB'∥y軸，P（2，4），

∴點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)為2，即B'E=2，

又∵△AOB≌△A'PB'，

∴線段AB掃過的面積=平行四邊形POBB'的面積+平行四邊形AOPA'的面積=BO×B'E+AO×A'D=3×2+4×4=22．

【解析】（1）把點(diǎn)P（2，4）代入直線y=k1x，把點(diǎn)P（2，4）代入雙曲線y= ，可得k1與k2的值；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，求得C（6， ），再運(yùn)用待定系數(shù)法，即可得到直線PC的表達(dá)式；（3）延長(zhǎng)A'C交x軸于D，過B'作B'E⊥y軸于E，根據(jù)△AOB≌△A'PB'，可得線段AB掃過的面積=平行四邊形POBB'的面積+平行四邊形AOPA'的面積，據(jù)此可得線段AB掃過的面積．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解確定一次函數(shù)的表達(dá)式(確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法)，還要掌握坐標(biāo)與圖形變化-平移(新圖形的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)；連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．