Question

19．如圖1，兩個(gè)全等的等邊三角形如圖放置，邊長(zhǎng)為4，AC與DE交于點(diǎn)G，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，BC與DF相交于點(diǎn)K，連接GK．

（1）寫出兩對(duì)相似三角形（不含全等）；
（2）求證：∠GKD=∠BKD；
（3）若△DKG的面積為S，KG=x，寫出S與x的關(guān)系，并寫出x的取值范圍；
（4）若將條件中的兩個(gè)全等的等邊三角形改為兩個(gè)全等的等腰三角形（DF=EF=AC=BC），如圖2，其余條件不變，直接判斷（1）（2）中的結(jié)論是否依然成立．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠EDF=60°，再由三角形的外角性質(zhì)得出∠AGD=∠BDK，證出△DAG∽△KBD，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{AD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，證出AD=BD=2，得出$\frac{BD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，證出△KDG∽△KDB即可；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠EDF=60°，再由三角形的外角性質(zhì)得出∠AGD=∠BDK，證出△DAG∽△KBD，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{AD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，證出AD=BD=2，得出$\frac{BD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，證出△KDG∽△KDB，即可得出結(jié)論；
（3）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠EDF，再由三角形的外角性質(zhì)得出∠AGD=∠BDK，證出△DAG∽△KBD，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{AD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，證出AD=BD=2，得出$\frac{BD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，證出△KDG∽△KDB；證出△DAG∽△KDG，得出DG•DK=2x，△DKG的面積S=$\frac{1}{2}$DG•DK•sin∠EDF，即可得出結(jié)果；當(dāng)KG∥AB時(shí)，KG最小=$\frac{1}{2}$AB=2；當(dāng)K與C重合時(shí)，KG最大=3；即可得出x的取值范圍；
（4）解法同（1）（2）．

解答 （1）解：△DAG∽△KBD，△KDG∽△KDB；理由如下：
：∵△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠EDF=60°，
∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，
∴∠AGD=∠BDK，
∴△DAG∽△KBD，
∴$\frac{AD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD=2，
∴$\frac{BD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，
∴△KDG∽△KDB；
（2）證明：∵△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠EDF=60°，
∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，
∴∠AGD=∠BDK，
∴△DAG∽△KBD，
∴$\frac{AD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD=2，
∴$\frac{BD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，
∴△KDG∽△KDB，
∴∠GKD=∠BKD；
（3）解：由（2）得：△DAG∽△KBD，△KDG∽△KDB，
∴△DAG∽△KDG，
∴$\frac{DG}{KG}=\frac{AD}{DK}$，即$\frac{DG}{x}=\frac{2}{DK}$，
∴DG•DK=2x，
∴△DKG的面積S=$\frac{1}{2}$DG•DK•sin∠EDF=$\frac{1}{2}$•2x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
當(dāng)KG∥AB時(shí)，KG最小=$\frac{1}{2}$AB=2；當(dāng)K與C重合時(shí)，KG最大=3；
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x（2≤x≤3）；
（4）解：（1）（2）中的結(jié)論依然成立；理由如下：
∵△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰三角形，DF=EF=AC=BC，
∴∠A=∠B=∠EDF，
∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，
∴∠AGD=∠BDK，
∴△DAG∽△KBD，
∴$\frac{AD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD=2，
∴$\frac{BD}{BK}=\frac{DG}{DK}$，
∴△KDG∽△KDB，
∴∠GKD=∠BKD．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．