Question

10．如圖（1），E為正方形ABCD的邊AD上一點．AE：ED=1：$\sqrt{2}$，過E作EP⊥BD于P．連接AP、CP．BE與AP交于G．
（1）證明：AP=CP；
（2）求∠ABE的度數(shù)；
（3）如圖（2），點F在AD的延長線上，且PA=PF，PF交CD于H，連接CF，請寫出線段AP與線段CF的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質，判定△ADP≌△CDP，進而得到AP=CP；
（2）先根據(jù)△DEP是等腰直角三角形以及AE：ED=1：$\sqrt{2}$，得到AE=PE，再判定Rt△ABE≌Rt△PBE，最后求得∠ABE的度數(shù)；
（3）先根據(jù)等腰三角形的性質求得∠APC和∠APF的度數(shù)，進而計算出∠CPF為直角，得到△CPF為等腰直角三角形，根據(jù)其邊角關系以及PA=PF=PC，得到線段AP與線段CF的數(shù)量關系．

解答 解：（1）∵正方形ABCD中，AD=CD=45°
∴在△ADP和△CDP中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDP}\\{PD=PD}\end{array}\right.$
∴△ADP≌△CDP（SAS）
∴AP=CP；
（2）∵EP⊥BD，∠EDP=45°
∴△DEP是等腰直角三角形
∴PE：ED=1：$\sqrt{2}$
又∵AE：ED=1：$\sqrt{2}$
∴AE=PE
在Rt△ABE和Rt△PBE中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{AE=PE}\end{array}\right.$
∴Rt△ABE≌Rt△PBE（HL）
∴∠ABE=∠PBE=$\frac{1}{2}$∠ABD=22.5°
（3）線段AP與線段CF的數(shù)量關系為：CF=$\sqrt{2}$AP
由Rt△ABE≌Rt△PBE可得，AB=PB
∵∠ABP=45°
∴∠APB=67.5°=∠CPB，即∠APC=135°
∵AE=PE，∠PED=45°
∴∠PAE=22.5°
又∵PA=PF
∴∠APF=180°-2×22.5°=135°
∴∠CPF=360°-135°-135°=90°
又∵PA=PF=PC
∴△PCF是等腰直角三角形
∴CP：CF=1：$\sqrt{2}$
∴AP：CF=1：$\sqrt{2}$
即CF=$\sqrt{2}$AP

點評 本題主要考查了正方形的性質以及全等三角形的判定，解決問題的關鍵是根據(jù)等腰三角形的底角度數(shù)求得頂角度數(shù)，以及根據(jù)頂角度數(shù)求得底角度數(shù)．解題時注意，在等腰直角三角形中，其直角邊與斜邊的比值為1：$\sqrt{2}$，即底邊長是腰長的$\sqrt{2}$倍．