Question

如圖，直線y=

3

x+3分別交x軸、y軸于B、A兩點，拋物線L：y=ax²+bx+c的頂點G在x軸上，且過（0，4）和（4，4）兩點．
（1）求拋物線L的解析式；
（2）拋物線L上是否存在這樣的點C，使得四邊形ABGC是以BG為底邊的梯形，若存在，請求出C點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）將拋物線L沿x軸平行移動得拋物線L₁，其頂點為P，同時將△PAB沿直線AB翻折得到△DAB，使點D落在拋物線L₁上．試問這樣的拋物線L₁是否存在，若存在，求出L₁對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的頂點在x軸上，那么拋物線與x軸只有一個交點，即△=0，然后將已知的兩點坐標(biāo)代入拋物線中聯(lián)立三式即可求出拋物線的解析式．
（2）若四邊形ABGC是以BG為底的梯形，那么AC∥BG，可先求出A點的坐標(biāo)，然后將A點縱坐標(biāo)代入拋物線中即可求出C點坐標(biāo)．要注意的是四邊形ABGC是梯形，因此AC≠BG，據(jù)此可將不合題意的值舍去．
（3）假設(shè)存在這樣的拋物線，先設(shè)出平移后拋物線的解析式，解題的大致思路：根據(jù)平移后拋物線的解析式寫出P點的坐標(biāo)，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)求出D點的坐標(biāo)，已知D在拋物線上，將D點代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）∵拋物線L過（0，4）和（4，4）兩點，由拋物線的對稱性知對稱軸為x=2，
∴G（2，0），
將（2，0）、（4，4）代入y=ax²+bx+4，
得

4a+2b+4=0 16a+4b+4=4

，
解得

a=1 b=-4

，
∴拋物線L的解析式為y=x²-4x+4．

（2）∵直線y=

3

x+3分別交x軸、y軸于B、A兩點，
∴A（0，3），B（-

3

，0）．
若拋物線L上存在滿足的點C，則AC∥BG，
∴C點縱坐標(biāo)此為3，
設(shè)C（m，3），
又∵C在拋物線L，代入解析式：（m-2）²=3，
∴m=2±

3

．
當(dāng)m=2+

3

時，BG=2+

3

，AG=2+

3

，
∴BG∥AG且BG=AG，
此時四邊形ABGC是平行四邊形，舍去m=2+

3

，
當(dāng)m=2-

3

時，BG=2-

3

，AG=2-

3

，
∴BG∥AG且BG≠AG，
此時四邊形ABGC是梯形．
故存在這樣的點C，使得四邊形ABGC是以BG為底邊的梯形，其坐標(biāo)為：
C（2-

3

，3）．

（3）假設(shè)拋物線L_1是存在的，且對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=（x-n）²，
∴頂點P（n，0）．
Rt△ABO中，AO=3，BO=

3

，
可得∠ABO=60°，
又∵△ABD≌△ABP．
∴∠ABD=60°，BD=BP=

3

+n．
如圖，過D作DN⊥x軸于N點，
Rt△BND中，BD=

3

+n，∠DBN=60°，
∴DN=

3

2

（

3

+n），BN=

3 +n

2

，
∴D（-

3

-

3 +n

2

，

3+ 3 n

2

），
即D（-

3 3 +n

2

，

3+ 3 n

2

），
又∵D點在拋物線y=（x-n）²上，
∴

3+ 3 n

2

=（-

3 3 +n

2

-n）²，
整理：9n²+16

3

+21=0．
解得n=-

3

，n=-

7 3

9

，當(dāng)n=-

3

時，P與B重合，不能構(gòu)成三角形，舍去，
∴當(dāng)n=-

7 3

9

時，此時拋物線為y=（x+

7 3

9

）²．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定、圖形的翻轉(zhuǎn)折疊等知識．