【題目】在△ABF中,C為AF上一點且AB=AC.
(1)尺規(guī)作圖:作出以AB為直徑的⊙O,⊙O分別交AC、BC于點D、E,在圖上標(biāo)出D、E,在圖上標(biāo)出D、E(保留作圖痕跡,不寫作法).
(2)若∠BAF=2∠CBF,求證:直線BF是⊙O的切線;
(3)在(2)中,若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的長.
【答案】(1)作圖見解析;(2)證明見解析;(3)BC=2,BF=.
【解析】試題分析:(1)作AB的垂直平分線交AB于O,以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓,⊙O即為所求;
(2)根據(jù)圓周角定理得到∠AEB=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠CAB,等量代換得到∠1=∠CBF,求出∠CBF+∠2=90°,然后,根據(jù)切線的判定即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)已知條件得到sin∠1=,求出BE=ABsin∠1=,根據(jù)勾股定理得到BC=2BE=2,由勾股定理得AE= =2,于是得到sin∠2=,cos∠2=,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AG=3,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
試題解析:(1)如圖1,所示⊙O為所求作的圓;
(2)連結(jié)AE,
∵AB是⊙O的直徑,∴∠AEB=90°,∴∠1+∠2=90°,
∵AB=AC,∴∠1=∠CAB,
∵∠BAF=2∠CBF,∴∠CBF=CAB,∴∠1=∠CBF,∴∠CBF+∠2=90°,
∵即∠ABF=90°,∵AB是⊙O的直徑,
∴直線BF是⊙O的切線;
(3)過點C作CG⊥AB于點G,
∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF,∴sin∠1=,
∵∠AEB=90°,AB=5,∴BE=ABsin∠1=,
∵AB=AC,∠AEB=90°,∴BC=2BE=2,
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE= =2,∴sin∠2=,cos∠2=,
在Rt△CBG中,GC=BC sin∠2=2×=4,GB=BCcos∠2=2,∴AG=3,
∵GC∥BF,∴△AGC∽△ABF,∴ ,∴BF==.
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【題目】市政府建設(shè)一項水利工程,某運輸公司承擔(dān)運送總量為106m3的土石方任務(wù),該公司有甲、乙兩種型號的卡車共100輛,甲型車平均每天可以運送土石方80m3,乙型車平均每天可以運送土石方120m3,計劃100天完成運輸任務(wù).
(1)該公司甲、乙兩種型號的卡車各有多少臺?
(2)如果該公司用原有的100輛卡車工作了40天后,由于工程進度的需要,剩下的所有運輸任務(wù)必須在50天內(nèi)完成,在甲型卡車數(shù)量不變情況下,公司至少應(yīng)增加多少輛乙型卡車?
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【題目】一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標(biāo)價,又以8折優(yōu)惠賣出,結(jié)果每件作服裝仍可獲利15元,則這種服裝每件的成本是( )
A.120元
B.125元
C.135元
D.140元
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【題目】為了倡導(dǎo)“節(jié)約用水,從我做起”,南沙區(qū)政府決定對區(qū)直屬機關(guān)300戶家庭的用水情況作一次調(diào)查,區(qū)政府調(diào)查小組隨機抽查了其中50戶家庭一年的月平均用水量(單位:噸),調(diào)查中發(fā)現(xiàn)每戶用水量均在10﹣14噸/月范圍,并將調(diào)查結(jié)果制成了如圖所示的條形統(tǒng)計圖.
(1)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)這50戶家庭月用水量的平均數(shù)是 ,眾數(shù)是 ,中位數(shù)是 ;
(3)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計南沙區(qū)直屬機關(guān)300戶家庭中月平均用水量不超過12噸的約有多少戶?
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【題目】已知:如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,AE∥CF,且分別交對角線BD于點E,F.
(1)求證:△AEB≌△CFD;
(2)連接AF,CE,若∠AFE=∠CFE,求證:四邊形AFCE是菱形.
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【題目】李剛家去年養(yǎng)殖的“豐收一號”多寶魚喜獲豐收,上市20天全部售完,李剛對銷售情況進行了跟蹤記錄,并將記錄情況繪成圖象,日銷售量y(單位:千克)與上市時間x(單位:天)的函數(shù)關(guān)系如圖1所示,多寶魚價格z(單位:元/件)與上市時間x(單位:天)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.
(1)觀察圖象,直接寫出日銷售量的最大值;
(2)求李剛家多寶魚的日銷售量y與上市時間x的函數(shù)解析式;
(3)試比較第10天與第12天的銷售金額哪天多?
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【題目】老師在黑板上寫了一個等式:(a+3)x=4(a+3).王聰說x=4,劉敏說不一定,當(dāng)x≠4時,這個等式也可能成立.你同意誰的觀點?請用等式的基本性質(zhì)說明理由.
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【題目】某公司對一批某品牌襯衣的質(zhì)量抽檢結(jié)果如下表.
(1)從這批襯衣眾人抽1件是次品的概率約為多少?
(2)如果銷售這批襯衣600件,那么至少要再準(zhǔn)備多少件正品襯衣供買到次品的顧客更換?
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【題目】計算6+(-3.5)+(+2.5)時,較好的方法是( )
A. 按順序進行計算B. 同號的數(shù)先相加
C. 后面的兩個數(shù)先相加D. 以上的方法都不對
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