Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A坐標為（2，4），直線x=2與x軸相交于點B，連接OA，拋物線y=x²從點O沿OA方向平移，與直線x=2交于點P，頂點M到A點時停止移動．
（1）求線段OA所在直線的函數解析式；
（2）設拋物線頂點M的橫坐標為m，
①用m的代數式表示點P的坐標；
②當m為何值時，線段PB最短；
（3）當線段PB最短時，相應的拋物線上是否存在點Q，使△QMA的面積與△PMA的面積相等？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據A點的坐標，用待定系數法即可求出直線OA的解析式．
（2）①由于M點在直線OA上，可根據直線OA的解析式來表示出M點的坐標，因為M點是平移后拋物線的頂點，因此可用頂點式二次函數通式來設出這個二次函數的解析式，P的橫坐標為2，將其代入拋物線的解析式中即可得出P點的坐標．
②PB的長，實際就是P點的縱坐標，因此可根據其縱坐標的表達式來求出PB最短時，對應的m的值．
（3）根據（2）中確定的m值可知：M、P點的坐標都已確定，因此AM的長為定值，若要使△QMA的面積與△PMA的面積相等，那么Q點到AM的距離和P到AM的距離應該相等，因此可分兩種情況進行討論：
①當Q在直線OA下方時，可過P作直線OA的平行線交y軸于C，那么平行線上的點到OA的距離可相等，因此Q點必落在直線PC上，可先求出直線PC的解析式，然后利用拋物線的解析式，看得出的方程是否有解，如果沒有則說明不存在這樣的Q點，如果有解，得出的x的值就是Q點的橫坐標，可將其代入拋物線的解析式中得出Q點的坐標．
②當Q在直線OA上方時，同①類似，可先找出P關于A點的對稱點D，過D作直線OA的平行線交y軸于E，那么直線DE上的點到AM的距離都等于點P到AM上的距離，然后按①的方法進行求解即可．
（本題也可通過以AP為底，找出和點M到AP的距離相等的兩條直線，然后聯(lián)立拋物線的解析式進行求解即可）．
解答：解：（1）設OA所在直線的函數解析式為y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直線的函數解析式為y=2x．

（2）①∵頂點M的橫坐標為m，且在線段OA上移動，
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴頂點M的坐標為（m，2m）．
∴拋物線函數解析式為y=（x-m）²+2m．
∴當x=2時，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2）．
∴點P的坐標是（2，m²-2m+4）．
②∵PB=m²-2m+4=（m-1）²+3，
又∵0≤m≤2，
∴當m=1時，PB最短．

（3）當線段PB最短時，此時拋物線的解析式為y=（x-1）²+2
即y=x²-2x+3．
假設在拋物線上存在點Q，使S_△QMA=S_△PMA．
設點Q的坐標為（x，x²-2x+3）．
①點Q落在直線OA的下方時，過P作直線PC∥AO，交y軸于點C，
∵PB=3，AB=4，
∴AP=1，
∴OC=1，
∴C點的坐標是（0，-1）．
∵點P的坐標是（2，3），
∴直線PC的函數解析式為y=2x-1．
∵S_△QMA=S_△PMA，
∴點Q落在直線y=2x-1上．
∴x²-2x+3=2x-1．
解得x₁=2，x₂=2，
即點Q（2，3）．
∴點Q與點P重合．
∴此時拋物線上存在點Q（2，3），使△QMA與△APM的面積相等．
②當點Q落在直線OA的上方時，
作點P關于點A的對稱稱點D，過D作直線DE∥AO，交y軸于點E，
∵AP=1，
∴EO=DA=1，
∴E、D的坐標分別是（0，1），（2，5），
∴直線DE函數解析式為y=2x+1．
∵S_△QMA=S_△PMA，
∴點Q落在直線y=2x+1上．
∴x²-2x+3=2x+1．
解得：x₁=2+，x₂=2-．
代入y=2x+1得：y₁=5+2，y₂=5-2．
∴此時拋物線上存在點Q₁（2+，5+2），Q₂（2-，5-2）
使△QMA與△PMA的面積相等．
綜上所述，拋物線上存在點，Q₁（2+，5+2），Q₂（2-，5-2），Q₃（2，3），使△QMA與△PMA的面積相等．
點評：本題考查了一次函數解析式的確定、二次函數圖象的平移、函數圖象的交點、圖形面積的求法等知識點，主要考查學生分類討論和數形結合的數學思想方法．