Question

2．本題利用代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$的形式特點(diǎn)，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形的問題，從而利用已學(xué)過的幾何知識(shí)來解決這個(gè)代數(shù)問題，這就是建模思想與數(shù)形結(jié)合思想．
（1）請(qǐng)你完成例題的解答；
（2）變式訓(xùn)練：求代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+16}$+$\sqrt{（10-x）^{2}+4}$的最小值；
（3）拓展練習(xí)：解方程$\sqrt{9-{x}^{2}}$+$\sqrt{16-{x}^{2}}$=5．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造圖形如圖所示，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)D，過D作C′D⊥DB，交AM的延長(zhǎng)線于C′，則ND=BN=2，MC′=ND=2，C′D=MN=12，AC′=3+2=5，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為B′，根據(jù)垂線段最短及兩點(diǎn)之間，線段最短可知當(dāng)B′、M、N三點(diǎn)共線且B′N⊥AB時(shí)BM+MN的值最小；
（3）構(gòu)造圖形如圖2，當(dāng)AC=3，BC=4，CD=x，∠ADC=∠BDC=90°，由勾股定理得到AD=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，BD=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，AB=5，推出∠ACB=90°，根據(jù)三角形的面積公式即可得到CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）構(gòu)造圖形如圖1所示，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，
其中：AM=3，BN=2，MN=12，設(shè)MP=x，則PN=12-x，
作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)D，過D作C′D⊥DB，交AM的延長(zhǎng)線于C′，則ND=BN=2，MC′=ND=2，C′D=MN=12，AC′=3+2=5，
∴PB=PD，
∵PA+PB=$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$=AD=$\sqrt{AC{′}^{2}+C′{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+{2}^{2}}$=13；

（2）如圖，當(dāng)AM=4，BN=2，MN=10，設(shè)MP=x，則PN=10-x，
則ND=BN=2，MC′=ND=2，C′D=MN=10，AC′=4+2=6，
∴代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+16}$+$\sqrt{（10-x）^{2}+4}$的最小值=PA+PB=AD，
∵AD=$\sqrt{AC{′}^{2}+C′{D}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
∴所求代數(shù)式的最小值是2$\sqrt{34}$；

（3）構(gòu)造圖形如圖2，當(dāng)AC=3，BC=4，CD=x，∠ADC=∠BDC=90°，
則AD=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，BD=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，
∴AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
即x=±$\frac{12}{5}$．
經(jīng)檢驗(yàn)x=±$\frac{12}{5}$都是方程的解．
則方程的解是x=±$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問題．解這類問題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，還考查了無理方程的解法．