Question

7．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-2）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若直線l是拋物線的對稱軸，設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在線段AB上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得以線段CM為直徑的圓與邊BC交于Q點(diǎn)（與點(diǎn)C不同），且以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可．
（2）由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么根據(jù)拋物線的對稱性以及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)．
（3）由于△QBO的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①Q(mào)B=BO、②QB=QO、③QO=BO；可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△QBO的三邊長，再按上面的三種情況列式求解即可．

解答 解：∵y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=-\frac{3}{2}\\ c=-2\end{array}\right.$，
∴函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）如圖1，拋物線的對稱軸是直線x=1.5．

當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時(shí)，PA+PC最小，△PAC的周長最�。�
設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為D．
∵B（4，0）、C（0，-2）．
∴OB=4，OC=2．
又OD=$\frac{3}{2}$，得BD=$\frac{5}{2}$．
由$\frac{BD}{BO}=\frac{PD}{OC}$，得
PD=$\frac{5}{4}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$-\frac{5}{4}$）．
（3）過點(diǎn)Q作QM⊥BC交AB于點(diǎn)M，如圖2，

則根據(jù)直徑所對圓周角是直角的性質(zhì)，知點(diǎn)Q在以CM為直徑的圓上，
由A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-2）可證△ABC是直角三角形，得∠ACB=90°，
∴QM∥AC，
∴△BMQ∽△BAC．
∴$\frac{BQ}{BC}=\frac{BM}{AB}$，
由A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-2），可得OA=1，OB=4，OC=2．
則AB=1+4=5，BC=$\sqrt{{2^2}+{4^2}}=2\sqrt{5}$．
由M（m，0），得BM=4-m．
分三種情況：
①當(dāng)QB=QO時(shí)，點(diǎn)Q在OB垂直平分線上，是BC的中點(diǎn)，得QC=$\sqrt{5}$．
∴$\frac{{\sqrt{5}}}{{2\sqrt{5}}}=\frac{4-m}{5}$，解得$m=\frac{3}{2}$．
②當(dāng)BQ=BO時(shí)，BQ=4．
∴$\frac{4}{{2\sqrt{5}}}=\frac{4-m}{5}$，解得$m=4-2\sqrt{5}$．
③當(dāng)OB=OQ時(shí)，由于OQ=4，OA=2，OQ＞OA從而點(diǎn)Q在CB的延長線上，這樣點(diǎn)M不在線段AC上．
綜上所述，m的值為$\frac{3}{2}$或$4-2\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 該二次函數(shù)綜合題涉及了拋物線的性質(zhì)及解析式的確定、等腰三角形的判定等知識(shí)，在判定等腰三角形時(shí)，一定要根據(jù)不同的腰和底分類進(jìn)行討論，以免漏解．