Question

如圖，以△ABC的BC邊為直徑作圓O，分別交AC、AB于E、F兩點(diǎn)，過(guò)A作圓O的切線，切點(diǎn)為D，并且點(diǎn)E、F為劣弧的三等分點(diǎn)，求∠CAD的大�。�

Answer 1

解：連接BE、BD、DF、OD，設(shè)圓O半徑為r，EC長(zhǎng)為l，
∵E為弧CF的中點(diǎn)，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵BE⊥CE，
∴△ABC為等腰三角形，
即AB=BC=2r，AE=EC=l，
∵E，F(xiàn)為弧CD的三等分點(diǎn)，
∴DF=EC=L，
∵AD，AC分別為⊙O的切線和割線，
∴AD²=AE•AC，即AD=l，
又∵△ADF∽△ABD，
∴=，
即BD=r，
∵BD²=DO²+OB²，
∴∠DBO=45°，
∵∠DBF=∠FBE=∠EBC，
AB=BC，
∴∠ABC=∠DAB=30°，
∠BAC=75°，
∴∠CAD=105°．
分析：根據(jù)已知得出△ABC為等腰三角形，進(jìn)而利用切割線定理求出AD=l，從而得出BD=r，即可得出∠ABC=∠DAB=30°，∠BAC=75°，得出答案．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和圓周角定理，熟練利用切割線定理得出AD=l，BD=r是解題關(guān)鍵．