Question

某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件．試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為250件；銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．
（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤最大；
（3）商場的營銷部結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案：
方案A：該文具的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過30元；
方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元
請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)利潤=（單價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)（1）式列出的函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用配方法求最大值；
（3）分別求出方案A、B中x的取值范圍，然后分別求出A、B方案的最大利潤，然后進(jìn)行比較．
解答：解：（1）由題意得，銷售量=250-10（x-25）=-10x+500，
則w=（x-20）（-10x+500）
=-10x²+700x-10000；

（2）w=-10x²+700x-10000=-10（x-35）²+2250．
∵-10＜0，
∴函數(shù)圖象開口向下，w有最大值，
當(dāng)x=35時(shí)，w_max=2250，
故當(dāng)單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的利潤最大；

（3）A方案利潤高．理由如下：
A方案中：20＜x≤30，
故當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值，
此時(shí)w_A=2000；
B方案中：，
故x的取值范圍為：45≤x≤49，
∵函數(shù)w=-10（x-35）²+2250，對稱軸為x=35，
∴當(dāng)x=45時(shí)，w有最大值，
此時(shí)w_B=1250，
∵w_A＞w_B，
∴A方案利潤更高．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度較大，最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=時(shí)取得．