Question

【題目】已知：二次函數(shù)y=（n﹣1）x2+2mx+1圖象的頂點在x軸上．

（1）請寫出m與n的關(guān)系式，并判斷已知中函數(shù)圖象的開口方向；

（2）是否存在整數(shù)m，n的值，使函數(shù)圖象的對稱軸與x軸的交點橫坐標(biāo)為整數(shù)？若存在，請求出m，n的值；若不存在，請說明理由；

（3）若y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=nx2﹣m2x﹣2n﹣2

①當(dāng)n≠0時，求該函數(shù)必過的定點坐標(biāo)；

②探索這個函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有兩個交點時n的值．

Answer 1

【答案】（1）n=m2+1，圖象開口向上；（2）存在m=±1，n=2，符合要求，理由見解析；（3）①必過的定點為（2，0），（﹣1，﹣3），過程見解析；②當(dāng)n=0或﹣1或時，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有兩個交點．

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點在x軸上，可知b2-4ac=0,代入求值即可,（2）求出對稱軸為x，根據(jù)分式性質(zhì),求整數(shù)即可,（3）①因式分解原式得n（x2﹣x﹣2）+x﹣2，當(dāng)函數(shù)過定點時,即n不在影響函數(shù),令x2﹣x﹣2=0,求解即可, ②分類討論即可見詳解.

解：（1）∵二次函數(shù)y=（n﹣1）x2+2mx+1圖象的頂點在x軸上，

∴4m2﹣4（n﹣1）=0，

∴n﹣1=m2 ，

∴n=m2+1，

∵n﹣1≠0，且m2≥0

∴n﹣1＞0，

∴圖象開口向上；

（2）∵y=（n﹣1）x2+2mx+1，

∴對稱軸x=，

要使為整數(shù)，

∵m，n為整數(shù)，

∴只要m=±1，此時n=2，

∴存在m=±1，n=2，符合要求；

（3）①y=nx2﹣（n﹣1）x﹣2n﹣2=n（x2﹣x﹣2）+x﹣2，

令x2﹣x﹣2=0，得x=﹣1或2，所以必過的定點為（2，0），（﹣1，﹣3），

②若n=0，則y=x﹣2，直線與坐標(biāo)軸有兩個交點，

若n≠0：b2﹣4ac=（n﹣1）2+4n（2n+2）=（3n+1）2≥0，

當(dāng)拋物線過原點時，n=﹣1，此時圖象與坐標(biāo)軸有兩個交點，

當(dāng)拋物線不過原點時，n=時，b2﹣4ac=0，圖象與x軸，y軸各有1個交點，

綜上，當(dāng)n=0或﹣1或時，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有兩個交點．