Question

已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，0），（1，-1），（-2，14）三點．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)這個二次函數(shù)的圖象與直線y=x+t（t≤1）相交于（x₁，y₁），（x₂，y₂）兩點（x₁≠x₂）．
①求t的取值范圍；
②設(shè)m=y₁²+y₂²，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式及m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）將（0，0），（1，-1），（-2，14）代入三點，
得，
解得a=2，b=-3，c=0，
二次函數(shù)解析式為y=2x²-3x．

（2）①當(dāng)t=1時，直線y=x+t（t≤1）可化為y=x+1，
代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=2x²-3x得，2x²-4x-1=0，
△=（-4）²-4×2×（-1）=24＞0，
故直線與拋物線有兩個不同的交點．
②當(dāng)直線與拋物線相切時t取得最小值，
把y=x+t代入拋物線y=2x²-3x得，2x²-4x-t=0．
△=（-4）²-4×2×（-t）=0，
即t=-2，
故t的取值范圍是-2＜t≤1．
分析：（1）由于圖象過（0，0），（1，-1），（-2，14）三點，可以設(shè)出一般式，用待定系數(shù)法解答；
（2）因為二次函數(shù)與直線有兩個交點，根據(jù)函數(shù)圖象的交點個數(shù)與它們組成的方程組的解的個數(shù)的關(guān)系，可以利用根的判別式解答．
點評：此題將用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象的交點個數(shù)與它們組成的方程組的解的個數(shù)的關(guān)系以及根的判別式結(jié)合起來，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．