Question

【題目】如圖，已知ABCD的三個頂點A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作ABCD關于直線AD的對稱圖形AB1C1D．

（1）若m=3，試求四邊形CC1B1B面積S的最大值；

（2）若點B1恰好落在y軸上，試求的值．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，易證SBCEF=SBCDA=SB1C1DA=SB1C1EF，從而可得SBCC1B1=2SBCDA=，根據二次函數的最值性就可解決問題；

（2）如圖2，易證△AOD∽△B1OB，根據相似三角形的性質可得OB1=，然后在Rt△AOB1中運用勾股定理就可解決問題．

試題解析：（1）如圖1，∵ABCD與四邊形AB1C1D關于直線AD對稱，∴四邊形AB1C1D是平行四邊形，CC1⊥EF，BB1⊥EF，∴BC∥AD∥B1C1，CC1∥BB1，∴四邊形BCEF、B1C1EF是平行四邊形，∴SBCEF=SBCDA=SB1C1DA=SB1C1EF，∴SBCC1B1=2SBCDA．

∵A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）、m=3，∴AB=m﹣n=3﹣n，OD=2n，∴SBCDA=ABOD=（3﹣n）2n==，∴SBCC1B1=2SBCDA=．

∵﹣4＜0，∴當n=時，SBCC1B1最大值為9；

（2）當點B1恰好落在y軸上，如圖2，∵DF⊥BB1，DB1⊥OB，∴∠B1DF+∠DB1F=90°，∠B1BO+∠OB1B=90°，∴∠B1DF=∠OBB1．

∵∠DOA=∠BOB1=90°，∴△AOD∽△B1OB，∴，∴，∴OB1=．

由軸對稱的性質可得AB1=AB=m﹣n．在Rt△AOB1中，，整理得．

∵m＞0，∴3m﹣8n=0，∴=．