【題目】如圖1,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=45°,試判斷BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.

小聰把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,通過證明△AEF≌△AGF;從而發(fā)現(xiàn)并證明了EF=BE+FD.
(1)如圖2,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上,∠EAF=45°,連接EF,請(qǐng)根據(jù)小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)給你的啟示寫出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;

(2)如圖3,如圖,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)E、F在邊BC上,且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的長.

【答案】
(1)

解:DF=EF+BE.

理由:如圖1所示,∵AB=AD,

∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合,

∵∠ADC=∠ABE=90°,

∴點(diǎn)C、D、G在一條直線上,

∴EB=DG,AE=AG,∠EAB=∠GAD,

∵∠BAG+∠GAD=90°,

∴∠EAG=∠BAD=90°,

∵∠EAF=45°,

∴∠FAG=∠EAG﹣∠EAF=90°﹣45°=45°,

∴∠EAF=∠GAF,

在△EAF和△GAF中,

,

∴△EAF≌△GAF,

∴EF=FG,

∵FD=FG+DG,

∴DF=EF+BE


(2)

解:∵∠BAC=90°,AB=AC,

∴將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ACG,連接FG,如圖2,

∴AG=AE,CG=BE,∠ACG=∠B,∠EAG=90°,

∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,

∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2;

又∵∠EAF=45°,

而∠EAG=90°,

∴∠GAF=90°﹣45°,

在△AGF與△AEF中,

∴△AEF≌△AGF,

∴EF=FG,

∴CF2=EF2﹣BE2=52﹣32=16,

∴CF=4.


【解析】(1)把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合,證出△AFE≌△AFG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG,即可得出答案;(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AG=AE,CG=BE,∠ACG=∠B,∠EAG=90°,∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,根據(jù)勾股定理有FG2=FC2+CG2=BE2+FC2;根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FG=EF,利用勾股定理可得CF.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了節(jié)省空間,家里的飯碗一般是擺起來存放的,如果6只飯碗(注:飯碗的大小形狀都一樣,下同)擺起來的高度為15cm,9只飯碗擺起來的高度為20cm,李老師家的碗櫥每格的高度為36cm,則李老師一摞碗最多只能放__只.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,我們把橫 、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).已知點(diǎn)

A0,4),點(diǎn)B軸正半軸上的整點(diǎn),記△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為m.當(dāng)m=3時(shí),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的所有可能值是 ;當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4nn為正整數(shù))時(shí),m= (用含n的代數(shù)式表示.)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】綜合題。
(1)計(jì)算:(tan60°)1× ﹣|﹣ |+23×0.125
(2)解方程:(x﹣5)2=16.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1是一臺(tái)放置在水平桌面上的筆記本電腦,將其側(cè)面抽象成如圖2所示的幾何圖形,若顯示屏所在面的側(cè)邊AO與鍵盤所在面的側(cè)邊BO長均為24cm,點(diǎn)P為眼睛所在位置,D為AO的中點(diǎn),連接PD,當(dāng)PD⊥AO時(shí),稱點(diǎn)P為“最佳視角點(diǎn)”,作PC⊥BC,垂足C在OB的延長線上,且BC=12cm.
(1)當(dāng)PA=45cm時(shí),求PC的長;
(2)若∠AOC=120°時(shí),“最佳視角點(diǎn)”P在直線PC上的位置會(huì)發(fā)生什么變化?此時(shí)PC的長是多少?請(qǐng)通過計(jì)算說明.(結(jié)果精確到0.1cm,可用科學(xué)計(jì)算器,參考數(shù)據(jù): ≈1.414, ≈1.732)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,反比例函數(shù)y= 在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)B,與OA交于點(diǎn)P,且OA2﹣AB2=18,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(
A.9
B.6
C.3
D.3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】宿州市高新區(qū)某電子電路板廠到安徽大學(xué)從2018年應(yīng)屆畢業(yè)生中招聘公司職員,對(duì)應(yīng)聘者的專業(yè)知識(shí)、英語水平、參加社會(huì)實(shí)踐與社團(tuán)活動(dòng)等三項(xiàng)進(jìn)行測試或成果認(rèn)定,三項(xiàng)的得分滿分都為100分,三項(xiàng)的分?jǐn)?shù)分別按532的比例記入每人的最后總分,有4位應(yīng)聘者的得分如下表所示.

項(xiàng)目

專業(yè)知識(shí)

英語水平

參加社會(huì)實(shí)踐與

社團(tuán)活動(dòng)等

85

85

90

85

85

70

80

90

70

90

90

50

(1)分別算出4位應(yīng)聘者的總分;

(2)表中四人專業(yè)知識(shí)的平均分為85分,方差為12.5,四人英語水平的平均分為87.5分,方差為6.25,請(qǐng)你求出四人參加社會(huì)實(shí)踐與社團(tuán)活動(dòng)等的平均分及方差;

(3)分析(1)和(2)中的有關(guān)數(shù)據(jù),你對(duì)大學(xué)生應(yīng)聘者有何建議?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】放風(fēng)箏是大家喜愛的一種運(yùn)動(dòng),星期天的上午小明在市政府廣場上放風(fēng)箏.如圖,他在A處不小心讓風(fēng)箏掛在了一棵樹梢上,風(fēng)箏固定在了D處,此時(shí)風(fēng)箏AD與水平線的夾角為30°,為了便于觀察,小明迅速向前邊移動(dòng),收線到達(dá)了離A處10米的B處,此時(shí)風(fēng)箏線BD與水平線的夾角為45°.已知點(diǎn)A,B,C在同一條水平直線上,請(qǐng)你求出小明此時(shí)所收回的風(fēng)箏線的長度是多少米?(風(fēng)箏線AD,BD均為線段, ≈1.414, ≈1.732,最后結(jié)果精確到1米).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列命題:①對(duì)頂角相等;②同位角相等,兩直線平行;③若|a|=|b|,則a=b;④若x=2,則2|x|-1=3.以上命題是真命題的有(   ).

A. ①②③④ B. ①④ C. ②④ D. ①②④

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案