Question

如圖，一次函數y=-

3

3

x+2

3

的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，以M（1，0）為圓心的⊙M與y軸相切，點M以每秒2個單位的速度從（1，0）向x軸正方向運動，同時⊙M的半徑以每秒

1

2

個單位的速度擴大，當M運動了

 

秒時，⊙M與直線AB只有一個公共點．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,坐標與圖形性質

專題：

分析：M可能在OA上，也可能在OA的延長線上，因而分兩種情況進行討論，作M₁C⊥AB于點C．則△AM₁C∽△ABO，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可得到一個關于t的方程，求得t的值．

解答：解：在y=-

3

3

x+2

3

中，令x=0，則y=2

3

，即B的坐標是（0，2

3

），則OB=2

3

；
令y=0，在y=-

3

3

x+2

3

=0，解得：x=6，則A的坐標是（6，0），則OA=6．
在直角△OAB中，AB=

OA2+OB2

=4

3

．
當M在線段OA上時，如圖（1）：
作M₁C⊥AB于點C．則△AM₁C∽△ABO，
則

AM1

AB

=

M1C

OB

，即

1+ 1 2 t

2 3

=

3-2t

4 3

，
解得：t=1s；
當P在OA的延長線上時：如圖（2）
同理作M₂D⊥AB于點D．則△AM₂D∽△ABO，
則

AM2

AB

=

M2D

OB

，
則

2t+1-6

4 3

=

1+ 1 2 t

2 3

，
解得：t=7s．
故答案是：1或7．

點評：本題考查了一次函數與相似三角形及直線與圓的位置關系，以及切線的性質的綜合應用，正確進行討論是關鍵．