Question

如圖，已知直線l及其兩側(cè)兩點(diǎn)A、B．
（1）在直線l上求一點(diǎn)O，使到A、B兩點(diǎn)距離之和最短；
（2）在直線l上求一點(diǎn)P，使PA=PB；
（3）在直線l上求一點(diǎn)Q，使l平分∠AQB．

Answer 1

解：（1）連接AB，線段AB交直線l于點(diǎn)O，
∵點(diǎn)A、O、B在一條直線上，
∴O點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

（2）連接AB，
分別以A、B兩點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作圓，兩圓相交于C、D兩點(diǎn)，連接CD與直線l相交于P點(diǎn)，
連接BD、AD、BP、AP、BC、AC，
∵BD=AD=BC=AC，
∴△BCD≌△ACD，
∴∠BED=∠AED=90°，
∴CD是線段AB的垂直平分線，
∵P是CD上的點(diǎn)，
∴PA=PB；

（3）作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l與點(diǎn)Q，連接BQ，
∵B與B′兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴BD=B′D，DQ=DQ，∠BDQ=∠B′DQ，
∴△BDQ≌△B′DQ，
∴∠BQD=∠B′QD，即直線l平分∠AQB．

分析：（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接AB，線段AB交直線l于點(diǎn)O，則O為所求點(diǎn)；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)連接AB，在作出線段AB的垂直平分線即可；
（3）作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l與點(diǎn)Q，連接BQ，由三角形全等的判定定理求出△BDQ≌△B′DQ，再由全等三角形的性質(zhì)可得出∠BQD=∠B′QD，即直線l平分∠AQB．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是兩點(diǎn)之間線段最短、線段垂直平分線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，熟知各題的知識(shí)點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．