Question

如圖，已知直線l及其兩側兩點A、B，
（1）在直線l上求一點O，使到A、B兩點距離之和最短；
（2）在直線l上求一點P，使PA=PB；
（3）在直線l上求一點Q，使l平分∠AQB．

Answer 1

解：（1）如圖，連接AB，線段AB交直線l于點O，

∵點A、O、B在一條直線上，
∴O點即為所求點；
（2）如圖，連接AB，
分別以A、B兩點為圓心，以任意長為半徑作圓，兩圓相交于C、D兩點，
連接CD與直線l相交于P點，連接BD、AD、BP、AP、BC、AC，

∵BD=AD=BC=AC，
∴△BCD≌△ACD，
∴∠BED=∠AED=90°，
∴CD是線段AB的垂直平分線，
∵P是CD上的點，
∴PA=PB；
（3）如圖，作B關于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l與點Q，連接BQ，

∵B與B′兩點關于直線l對稱，
∴BD=B′D，DQ=DQ，∠BDQ=∠B′DQ，
∴△BDQ≌△B′DQ，
∴∠BQD=∠B′QD，
即直線l平分∠AQB．