Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3）B（-2，0），C（m，0），其中m＞0．以O(shè)B，OC為直徑的圓分別交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接EF．
（1）求證：△AFE∽△ABC；
（2）是否存在m的值，使得△AEF是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）觀察當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F移動(dòng)變化的情況．試求點(diǎn)C₁（，0）移動(dòng)到點(diǎn)C₂（3，0）點(diǎn)F移動(dòng)的行程．

Answer 1

（1）證明：∵AO是兩圓內(nèi)的公切線，
∴AO²=AE•AB=AF•AC，
∴=
又∵∠FAE=∠BAC
∴△AFE∽△ABC；

（2）解：∵△AFE∽△ABC，
∴==，
當(dāng)AF=AE，即AB=AC時(shí)，OC=OB
∴m=2，
當(dāng)AE=FE，即AB=BC時(shí)，=2+m，
∴m=-2
當(dāng)AF=FE，即AC=BC時(shí)，9+m²=（2+m）²，
解得m=
∴m的值為2或-2或；

（3）解：∠AFO始終為直角，且OA為定值
∴OA=3，OC₁=，
∴tan∠OAC₁=，
∴∠OAC₁=30°，
同理可得∠OAC₂=60°
∴∠C₁AC₂=30°
∴點(diǎn)F移動(dòng)的行程為 ．
分析：（1）利用切線長(zhǎng)定理，得到相應(yīng)線段成比例，再加上公共角相等，可得到兩三角形相似；
（2）按邊相等的不同情況討論；
（3）按CO為直徑，則∠OFC=90°，可得到∠AFO=90°，并且OA為定值，即可得到點(diǎn)F移動(dòng)的行程為以O(shè)A的直徑上的一段弧長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題用到的知識(shí)點(diǎn)為：對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．直徑所對(duì)的圓周角是90°以及三角函數(shù)值等．需注意探索圖形變化過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的能力，如變與不變的辯證思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等．