Question

【題目】如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，過AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接AE，CF．

（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若AB= ，∠DCF=30°，求四邊形AECF的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵O是AC的中點(diǎn)，且EF⊥AC，

∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AFO=∠CEO，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（AAS），

∴AF=CE，

∴AF=CF=CE=AE，

∴四邊形AECF是菱形

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD=AB= ，

在Rt△CDF中，cos∠DCF= ，∠DCF=30°，

∴CF= =2，

∵四邊形AECF是菱形，

∴CE=CF=2，

∴四邊形AECF是的面積為：ECAB=2

【解析】（1）首先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后再證明△AOF≌△COE，則可得AF=CE，從而可得到四邊形的四條邊都相等，故此可作出判斷；
（2）由四邊形ABCD是矩形，易求得CD的長(zhǎng)，然后利用三角函數(shù)求得CF的長(zhǎng)，最后依據(jù)菱形的面積=底×高求解即可.