Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，AB=3，E是AD邊上的一點(E與A、D不重合)，以BE為邊畫正方形BEFG，邊EF與邊CD交于點H.

(1)當E為邊AD的中點時，求DH的長；

(2)設DE=x，CH=y，求y與x之間的函數(shù)關系式，并求出y的最小值；

(3)若DE=，將正方形BEFG繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)適當角度后得到正方形B'EF'G'，如圖2，邊EF'與CD交于點N、EB'與BC交于點M，連結(jié)MN，求∠ENM的度數(shù).

Answer 1

【答案】(1)DH=； (2) ，y的最小值為；(3)∠ENM=60°.

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠D=∠A=∠BEF=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AEB=∠DHE，根據(jù)相似三角形的想知道的，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；

(2) 由第一題的比值代入得，化簡整理成二次函數(shù)即可,再求出函數(shù)的極值；

(3)通過作輔助線，可證△PMC∽△PDE, △PCE∽△PMN,得到∠EMN=∠ECN，從而可在△CED中，求得tan∠ECD值，從而求得∠ECD 角度，∠EMN=∠ECD=30°,所以在Rt△EMN中，利用互余求∠ENM=90°-30°=60°.

∵四邊形ABCD和四邊形BGFE是正方形，

∴∠D=∠A=∠BEF=90°，

∴∠AEB+∠DEH=∠DEH+∠DHE=90°，

∴∠AEB=∠DHE，

∴△EDH∽△BAE，

∴,

∵E為邊AD的中點，

∴DE=AE=1.5，

∴,

∴DH=.

由上得，，

∴，

∴(2分)=.

∵>0,

∴y的最小值為.

(3)

連結(jié)CE，延長ME、CD，兩線交于點P，

∵在正方形ABCD中，AD∥BC

∴△PMC∽△PED,

∴

變換得：

又∵在Rt△PEN中，

∴

又∵∠P=∠P公共角

∴△PCE∽△PMN,

∴∠EMN=∠ECN

又∵在Rt△CED中，求得tan∠ECD==,

∴∠ECD=30°

∴∠EMN=∠ECD=30°,

∴在Rt△EMN中，∠ENM=90°-30°=60°.