Question

【題目】請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)。
阿基米德(Archimedes,公元前287~公元前212年,古希臘)是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一.

阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是圓O的兩條弦（即折線(xiàn)ABC是圓的一條折弦）， BC＞AB，M是 的中點(diǎn)，即CD=AB+BD。下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD=AB+BD的部分過(guò)程。
證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA、MB、MC、MG。因?yàn)镸是弧ABC的中點(diǎn)，所以MA=MC.
任務(wù)：
（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，完整證明阿基米德折弦定理，即CD=AB+BD。
（2）如圖3，已知等邊△ABC內(nèi)接于圓O，AB=1，D為 上一點(diǎn)，∠ABD=45°，AE⊥BD于點(diǎn)E，則△BDC的周長(zhǎng)是.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖2，在CB上截取CG=AB,連接MA,MB,MC和MG;

∵M(jìn)是狐ABC的中點(diǎn)，

∴MA=MC.

在△MBA和△MGC中,

∵

∴△MBA≌△MGC（SAS）,

∴MB=MG,

又∵M(jìn)D⊥BC,

∴BD=GD

∴DC=GC+GD=AB+BD

（2）解：如圖3，截取BF=CD,連接AF,AD,CD;
根據(jù)題意可得：AB=AC,∠ABF=∠ACD,
在△ABF和△ACD中
∵
∴△ABF≌△ACD（SAS）
∴AF=AD
∵AE⊥BD
∴FE=DE,則CD+DE=BE
∵∠ABD=45°
∴BE==,
則C△BDC=+1
因此，本題正確答案是+1
【解析】（1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進(jìn)而得出MB=MG,再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD，即可得出答案；
（2）首先證明△ABF≌△ACD（SAS）,進(jìn)而得出AF=AD,以及CD+DE=BE,進(jìn)而求出DE的長(zhǎng)即可得出答案。
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角）即可以解答此題．