【題目】1)如圖,在四邊形ABCD中,AB=ADB=D=90°,E、F分別是邊BCCD上的點(diǎn),且EAF=BAD求證:EF=BE+FD;

2)如圖,在四邊形ABCD中,AB=ADB+D=180°,E、F分別是邊BCCD上的點(diǎn),且EAF=BAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?

3)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,B+ADC=180°,EF分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn),且EAF=BAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

【答案】1)證明見解析;(2)(2)(1)中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立;(3)結(jié)論EF=BE+FD不成立,應(yīng)當(dāng)是EF=BE﹣FD,證明見解析.

【解析】試題分析:1)可通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換.延長EBG,使BG=DF,連接AG.目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等將EF轉(zhuǎn)換成GE,那么這樣EF=BE+DF了,于是證明兩組三角形全等就是解題的關(guān)鍵.三角形ABEAEF中,只有一條公共邊AE,我們就要通過其他的全等三角形來實(shí)現(xiàn),在三角形ABGAFD中,已知了一組直角,BG=DF,AB=AD,因此兩三角形全等,那么AG=AF,1=2,那么∠1+3=2+3=EAF=BAD.由此就構(gòu)成了三角形ABEAEF全等的所有條件(SAS),那么就能得出EF=GE了.

2)思路和作輔助線的方法與(1)完全一樣,只不過證明三角形ABGADF全等中,證明∠ABG=ADF時(shí),用到的等角的補(bǔ)角相等,其他的都一樣.因此與(1)的結(jié)果完全一樣.

3)按照(1)的思路,我們應(yīng)該通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換.就應(yīng)該在BE上截取BG,使BG=DF,連接AG.根據(jù)(1)的證法,我們可得出DF=BG,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.所以(1)的結(jié)論在(3)的條件下是不成立的.

1)延長EBG,使BG=DF,連接AG

∵∠ABG=ABC=D=90°,AB=AD,

∴△ABG≌△ADF

AG=AF,1=2

∴∠1+3=2+3=EAF=BAD

∴∠GAE=EAF

AE=AE

∴△AEG≌△AEF

EG=EF

EG=BE+BG

EF=BE+FD

2)(1)中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立.

3)結(jié)論EF=BE+FD不成立,應(yīng)當(dāng)是EF=BE﹣FD

證明:在BE上截取BG,使BG=DF,連接AG

∵∠B+ADC=180°,ADF+ADC=180°,

∴∠B=ADF

AB=AD,

∴△ABG≌△ADF

∴∠BAG=DAFAG=AF

∴∠BAG+EAD=DAF+EAD

=EAF=BAD

∴∠GAE=EAF

AE=AE,

∴△AEG≌△AEF

EG=EF

EG=BE﹣BG

EF=BE﹣FD

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【題目】(2016山西省第19題)請閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù):

阿基米德折弦定理

阿基米德(Archimedes,公元前287~公元212年,古希臘)是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一.他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子.

阿拉伯Al-Biruni(973年~1050年)的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容,蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Biruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一題就是阿基米德的折弦定理.

阿基米德折弦定理:如圖1,AB和BC是的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦),BC>AB,M是的中點(diǎn),則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn),即CD=AB+BD.

下面是運(yùn)用截長法證明CD=AB+BD的部分證明過程.

證明:如圖2,在CB上截取CG=AB,連接MA,MB,MC和MG.M是的中點(diǎn), MA=MC ...

任務(wù):(1)請按照上面的證明思路,寫出該證明的剩余部分;

(2)填空:如圖(3),已知等邊ABC內(nèi)接于,AB=2,D為上一點(diǎn), ,AEBD與點(diǎn)E,則BDC的長是

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