Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的邊AB=6，BC=12，直線y=-x+b與y軸交于點P，與邊BC交于點E，與邊OA交于點D．
（1）若直線y=-x+b平分矩形ABCO的面積，求b的值；
（2）當直線y=-x+b沿（1）情形下的PFE為始邊繞點P順時針旋轉(zhuǎn)時，與直線AB和x軸分別交于點N、M，問：是否存在ON平分∠ANM的情況．若存在，求線段EM的長，若不存在，說明理由；
（3）沿在（1）條件下的直線將矩形ABCO折疊．若點O落在邊AB上，求出該點坐標，若不在邊AB上，求將（1）中的直線沿y軸怎樣平移，使矩形ABCO沿平移后的直線折疊，點O恰好落在邊AB上．

Answer 1

解：（1）因為直線y=-x+b平分矩形ABCO的面積，所以其必過矩形的中心，由題意得矩形的中心坐標為（6，3），
∴3=-×6+b，
解得b=12．
（2）

假設(shè)存在直線y=-x+b以PFE為始邊繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，
時，與直線AB和x軸分別交于點N、M，且ON平分∠ANM的情況．
①當直線y=-x+12與邊AB和OC相交時．
過點O作OQ⊥PM于點Q，
因為ON平分∠ANM，且OA⊥AB，所以O(shè)Q=OA=6，由（1）知OP=12，
在Rt△OPQ中，解得∠OPM=30°；
在Rt△OPM中，解得OM=4；
當y=0時，有一x+12=0，解得：x=8，
所以O(shè)E=8，
所以ME=8-4
②當直線y=-x+12與直線AB和x軸相交時．
同上可得：ME=8+4（或由OM=MN解得）

（3）

假設(shè)沿直線y=-x+12將矩形ABCO折疊，點O落在邊AB上O′處．
連接PO′，OO′，則有PO′=OP，
由（1）得AB垂直平分OP，所以PO′=OO′，
則△OPO′為等邊三角形．則∠OPE=30°，則（2）知∠OPE＞30°，
所以沿直線y=-x+12將矩形ABCO折疊，點O不可能落在邊AB上．
設(shè)沿直線y=-x+a將矩形ABCO折疊，點O恰好落在邊AB上O′處．
連接P′O′，OO′．則有P′O′=OP′=a，
則由題意得：AP′=a-6，∠OPE=∠AO′O，
在Rt△OPE中，tan∠OPE=在Rt△OAO′中，tan∠AO′O=，
所以=，即=，
所以AO′=9，
在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）²+9²=a²
解得：a=，
所以將直線y=-x+12沿y軸向下平移單位得直線y=-x+，
將矩形ABCO沿直線y=-x+折疊，點O恰好落在邊AB上．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，直線y=-x+b必過矩形的中心，由題意得矩形的中心坐標為（6，3），所以3=-×6+b，解得b=12；（2）假設(shè)存在直線y=-x+b以PFE為始邊繞點P順時針旋轉(zhuǎn)時，與直線AB和x軸分別交于點N、M，且ON平分∠ANM的情況．
①當直線y=-x+12與邊AB和OC相交時．過點O作OQ⊥PM于點Q，可解ME=8-4；
②當直線y=-x+12與直線AB和x軸相交時．同上可得：ME=8+4（或由OM=MN解得）；
（3）假設(shè)沿直線y=-x+12將矩形ABCO折疊，點O落在邊AB上O′處．連接PO′，OO′．則有PO′=OP，由（1）得AB垂直平分OP，所以PO′=OO′，則△OPO′為等邊三角形．則∠OPE=30°，則（2）知∠OPE＞30°所以沿直線y=-x+12將矩形ABCO折疊，點O不可能落在邊AB上．設(shè)沿直線y=-x+a將矩形ABCO折疊，點O恰好落在邊AB上O′處．連接P′O′，OO′．則有P′O′=OP′=a，則由題意得：AP′=a-6，∠OPE=∠AO′O，Rt△OPE中，=，即=所以AO′=9，在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）²+9²=a²解得：a=，所以將直線y=-x+12沿y軸向下平移單位得直線y=-x+，將矩形ABCO沿直線y=-x+折疊，點O恰好落在邊AB上．
點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象上點的意義和相似三角形的性質(zhì)來表示相應的線段之間的關(guān)系，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請注意體會．