【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點O在AB上,經(jīng)過點A的⊙O與BC相切于點D,與AC,AB分別相交于點E,F(xiàn),連接AD與EF相交于點G.
(1)求證:AD平分∠CAB;
(2)若OH⊥AD于點H,F(xiàn)H平分∠AFE,DG=1.
①試判斷DF與DH的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
②求⊙O的半徑.
【答案】
(1)
證明:如圖,連接OD,
∵⊙O與BC相切于點D,
∴OD⊥BC,
∵∠C=90°,
∴OD∥AC,
∴∠CAD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠BAD,
∴AD平分∠CAB
(2)
解:①DF=DH,理由如下:
∵FH平分∠AFE,
∴∠AFH=∠EFH,
又∠DFG=∠EAD=∠HAF,
∴∠DFG=∠EAD=∠HAF,
∴∠DFG+∠GFH=∠HAF+∠HFA,
即∠DFH=∠DHF,
∴DF=DH.
②設(shè)HG=x,則DH=DF=1+x,
∵OH⊥AD,
∴AD=2DH=2(1+x),
∵∠DFG=∠DAF,∠FDG=∠FDG,
∴△DFG∽△DAF,
∴ ,
∴ ,
∴x=1,
∵DF=2,AD=4,
∵AF為直徑,
∴∠ADF=90°,
∴AF= =
∴⊙O的半徑為
【解析】(1)連接OD.先證明OD∥AC,得到∠CAD=∠ODA,再根據(jù)OA=OD,得到∠OAD=∠ODA,進而得到∠CAD=∠BAD,即可解答.(2)①DF=DH,利用FH平分∠AFE,得到∠AFH=∠EFH,再證明∠DFH=∠DHF,即可得到DF=DH.②設(shè)HG=x,則DH=DF=1+x,證明△DFG∽△DAF,得到 ,即 ,求出x=1,再根據(jù)勾股定理求出AF,即可解答.本題考查了切線的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),本題涉及的知識點:兩直線平行,等腰三角形的判定、三角形相似.
【考點精析】通過靈活運用角平分線的性質(zhì)定理和垂徑定理,掌握定理1:在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等; 定理2:一個角的兩邊的距離相等的點,在這個角的平分線上;垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧即可以解答此題.
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【題目】計算下列各題:(1)_______;(2)________;
(3)_______;(4)_______;
(5)________;(6)________.
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【題目】如圖,將矩形ABCD沿EF折疊,點C落在A處,點D落在處.若AB=3,BC=9,則折痕EF的長為()
A. B. 4 C. 5 D.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)請用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖,保留作圖痕跡:
①作∠ACB的平分線,交斜邊AB于點D;
②過點D作AC的垂線,垂足為點E.
(2)在(1)作出的圖形中,若CB=4,CA=6,則DE=
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有兩個實數(shù)根x1 , x2 .
(1)求m的取值范圍;
(2)當x12+x22=6x1x2時,求m的值.
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【題目】已知:如圖,點 C 是線段 AB 上一點,且 5BC=2AB,D 是 AB 的中點,E 是CB 的中點,(1)若 DE=6,求 AB 的長;(2)求 AD:AC.
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【題目】由于持續(xù)高溫和連日無雨,某水庫的蓄水量隨時間的增加而減少,已知原有蓄水量y1(萬m3)與干旱持續(xù)時間x(天)的關(guān)系如圖中線段l1所示,針對這種干旱情況,從第20天開始向水庫注水,注水量y2(萬m3)與時間x(天)的關(guān)系如圖中線段l2所示(不考慮其它因素).
(1)求原有蓄水量y1(萬m3)與時間x(天)的函數(shù)關(guān)系式,并求當x=20時的水庫總蓄水量.
(2)求當0≤x≤60時,水庫的總蓄水量y(萬m3)與時間x(天)的函數(shù)關(guān)系式(注明x的范圍),若總蓄水量不多于900萬m3為嚴重干旱,直接寫出發(fā)生嚴重干旱時x的范圍.
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【題目】如圖,直線AB經(jīng)過⊙O上的點C,直線AO與⊙O交于點E和點D,OB與⊙O交于點F,連接DF、DC.已知OA=OB,CA=CB,DE=10,DF=6.
(1)求證:①直線AB是⊙O的切線;②∠FDC=∠EDC;
(2)求CD的長.
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【題目】為了加強學生的交通安全意識,某中學和交警大隊聯(lián)合舉行了“我當一日小交警”活動,星期天選派部分學生到交通路口值勤,協(xié)助交通警察維護交通秩序.若每一個路口安排4人,那么還剩下78人;若每個路口安排8人,那么最后一個路口不足8人,但不少于4人.求這個中學共選派值勤學生多少人?共有多少個交通路口安排值勤?
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