Question

8．如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B，C重合），過M作MN∥y軸交拋物線于N，交x軸于點(diǎn)H，若點(diǎn)H的坐標(biāo)為（m，0）．
①用m的代數(shù)式表示點(diǎn)M的坐標(biāo)和點(diǎn)N的坐標(biāo)．
②若M為線段NH的中點(diǎn)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由A、B點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)拋物線交點(diǎn)式，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入求解可得；
（2）①根據(jù)B、C點(diǎn)坐標(biāo)求直線BC解析式，根據(jù)MN∥y軸交拋物線于N，交x軸于H，且點(diǎn)H的坐標(biāo)為（m，0），由直線解析式可得點(diǎn)M坐標(biāo)，由拋物線解析式可得N坐標(biāo)；
②由M為線段NH的中點(diǎn)可得NM=MH，列出關(guān)于m的方程組，解方程組可得m的值，根據(jù)m的范圍取舍后即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
將點(diǎn)C（0，3）代入，得：-3a=3，
解得：a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；

（2）①設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
將點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-x+3，
∵M(jìn)N∥y軸，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（m，0）．
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，-m+3），點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，-m²+2m+3），其中0＜m＜3；
②∵M(jìn)為線段NH的中點(diǎn)，
∴NM=MH，即-m²+2m+3-（-m+3）=-m+3，
整理，得：m²-4m+3=0，
解得：m=1或m=3
∵0＜m＜3，
∴m=1．

點(diǎn)評 本題主要考查待定系數(shù)法求拋物線、直線解析式及中點(diǎn)的定義，待定系數(shù)法求出拋物線與直線解析式是解題前提，根據(jù)中點(diǎn)的定義列出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．