【題目】如圖,在△ABC中,AB=10,BC=12,BC邊上的中線AD=8.
(1)證明:△ABC為等腰三角形;
(2)點(diǎn)H在線段AC上,試求AH+BH+CH的最小值.

【答案】
(1)解:∵AD是BC邊上的中線,

∴BD=DC=6.

在△ABD中,BD2+AD2=62+82=102=AB2,

∴△ABD為直角三角形.

∴∠ADB=90°.

∴AD⊥BC.

∵AD⊥BC,BD=DC,

∴AB=AC.

∴△ABC為等腰三角形.


(2)解:∵AH+BH+CH=AC+BH=10+BH,

∴當(dāng)BH最小時,AH+BH+CH有最小值.

由垂線段的性質(zhì)可知當(dāng)BH⊥AC時,BH有最小值.

BHAC= BCAD,即 ×10BH= ×12×8,

解得:BH=9.6.

∴AH+BH+CH的最小值=10+9.6=19.6.


【解析】(1)由三角形的中線的定義可知BD=DC=6,然后依據(jù)勾股定理的逆定理可證明△ABD為直角三角形,故此AD⊥BC,則AD為BC的垂直平分線,依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知AB=AC;(2)由題意可得到CH+AC=AC=10,故此當(dāng)BH最小時,AH+BH+CH有最小值,依據(jù)垂線段的性質(zhì)可知當(dāng)BH⊥AC時,BH有最小值,在△ABC中,依據(jù)面積法可求得BH的最小值.

練習(xí)冊系列答案
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