【題目】若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等,則稱這個四邊形為“奇妙四邊形”.如圖1,四邊形ABCD中,若AC=BD,AC⊥BD,則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形.根據(jù)“奇妙四邊形”對角線互相垂直的特征可得“奇妙四邊形”的一個重要性質(zhì):“奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半.根據(jù)以上信息回答:
(1)矩形__________“奇妙四邊形”(填“是”或“不是”);
(2)如圖2,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”,若⊙O的半徑為6,∠BCD=60°.求“奇妙四邊形”ABCD的面積;
(3)如圖3,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”,作OM⊥BC于M.請猜測OM與AD的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】1)不是;(2)54;(3)OM=AD.理由見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和“奇妙四邊形”的定義進(jìn)行判斷;
(2)連結(jié)OB、OD,作OH⊥BD于H,如圖2,根據(jù)垂徑定理得到BH=DH,根據(jù)圓周角定理得到∠BOD=2∠BCD=120°,則利用等腰三角形的性質(zhì)得∠OBD=30°,在Rt△OBH中可計(jì)算出BH=OH=3,BD=2BH=6,則AC=BD=6,然后根據(jù)奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半求解;
(3)連結(jié)OB、OC、OA、OD,作OE⊥AD于E,如圖3,根據(jù)垂徑定理得到AE=DE,再利用圓周角定理得到∠BOM=∠BAC,∠AOE=∠ABD,再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE,則可證明△BOM≌△OAE得到OM=AE,于是有OM=AD.
試題解析:(1)矩形的對角線相等但不垂直,
所以矩形不是“奇妙四邊形”,
故答案為:不是;
(2)連結(jié)OB、OD,作OH⊥BD于H,如圖2,則BH=DH,
∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°,
∴∠OBD=30°,
在Rt△OBH中,∵∠OBH=30°,∴OH=OB=3,∴BH=OH=3,
∵BD=2BH=6,∴AC=BD=6,
∴“奇妙四邊形”ABCD的面積=×6×6=54;
(3)OM=AD.理由如下:
連結(jié)OB、OC、OA、OD,作OE⊥AD于E,如圖3,
∵OE⊥AD,∴AE=DE,
∵∠BOC=2∠BAC,而∠BOC=2∠BOM,∴∠BOM=∠BAC,
同理可得∠AOE=∠ABD,
∵BD⊥AC,∴∠BAC+∠ABD=90°,∴∠BOM+∠AOE=90°,
∵∠BOM+∠OBM=90°,∴∠OBM=∠AOE,
在△BOM和△OAE中 ,
∴△BOM≌△OAE,∴OM=AE,∴OM=AD.
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【題目】甲、乙兩個盒子中裝有質(zhì)地、大小相同的小球,甲盒中有個白球、個藍(lán)球;乙盒中有個白球、若干個藍(lán)球,從乙盒中任意摸取一球?yàn)樗{(lán)球的概率是從甲盒中任意摸取一球?yàn)樗{(lán)球的概率的倍.
()求乙盒中藍(lán)球的個數(shù).
()從甲、乙兩盒中分別任意摸取一球,求這兩球均為藍(lán)球的概率.
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【題目】已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-4,0),B(2,6)兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式;
(2)在直角坐標(biāo)系中,畫出這個函數(shù)的圖象;
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【題目】如圖,等邊三角形內(nèi)接于,點(diǎn)P在弧BC上,PA與BC相交于點(diǎn)D,若PB=3,PC=6,則PD=( )
A. 1.5 B. C. 2 D.
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【題目】下面是“作已知三角形的高”的尺規(guī)作圖過程.
已知: .
求作: 邊上的高
作法:如圖,
(1)分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心,大于的長為半徑作弧,兩弧相交于, 兩點(diǎn);
(2)作直線,交于點(diǎn);
(3)以為圓心, 為半徑⊙O,與CB的延長線交于點(diǎn)D,連接AD,線段AD即為所作的高.
請回答;該尺規(guī)作圖的依據(jù)是___________________________________________________
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【題目】已知:如圖,△ABC中,∠BAD=∠EBC,AD交BE于F.
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雙方公平嗎?請說明理由;若不公平,請你修改規(guī)則使游戲?qū)﹄p方公平.
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