Question

【題目】若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個四邊形為“奇妙四邊形”．如圖1，四邊形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形．根據(jù)“奇妙四邊形”對角線互相垂直的特征可得“奇妙四邊形”的一個重要性質(zhì)：“奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半．根據(jù)以上信息回答：

（1）矩形__________“奇妙四邊形”（填“是”或“不是”）；

（2）如圖2，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”，若⊙O的半徑為6，∠BCD=60°．求“奇妙四邊形”ABCD的面積；

（3）如圖3，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”，作OM⊥BC于M．請猜測OM與AD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】1）不是；（2）54；（3）OM=AD．理由見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和“奇妙四邊形”的定義進(jìn)行判斷；

（2）連結(jié)OB、OD，作OH⊥BD于H，如圖2，根據(jù)垂徑定理得到BH=DH，根據(jù)圓周角定理得到∠BOD=2∠BCD=120°，則利用等腰三角形的性質(zhì)得∠OBD=30°，在Rt△OBH中可計(jì)算出BH=OH=3，BD=2BH=6，則AC=BD=6，然后根據(jù)奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半求解；

（3）連結(jié)OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如圖3，根據(jù)垂徑定理得到AE=DE，再利用圓周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，則可證明△BOM≌△OAE得到OM=AE，于是有OM=AD．

試題解析：（1）矩形的對角線相等但不垂直，

所以矩形不是“奇妙四邊形”，

故答案為：不是；

（2）連結(jié)OB、OD，作OH⊥BD于H，如圖2，則BH=DH，

∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，

∴∠OBD=30°，

在Rt△OBH中，∵∠OBH=30°，∴OH=OB=3，∴BH=OH=3，

∵BD=2BH=6，∴AC=BD=6，

∴“奇妙四邊形”ABCD的面積=×6×6=54；

（3）OM=AD．理由如下：

連結(jié)OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如圖3，

∵OE⊥AD，∴AE=DE，

∵∠BOC=2∠BAC，而∠BOC=2∠BOM，∴∠BOM=∠BAC，

同理可得∠AOE=∠ABD，

∵BD⊥AC，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠BOM+∠AOE=90°，

∵∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OBM=∠AOE，

在△BOM和△OAE中 ，

∴△BOM≌△OAE，∴OM=AE，∴OM=AD．