Question

已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=4，AD=BC=2，∠ABC=120°．P、Q分別為射線BC和線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，且CQ=2BP．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：△CPQ∽△DAQ；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時(shí)，設(shè)BP=x，△APQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）以點(diǎn)A為圓心AQ為半徑作⊙A，以點(diǎn)B為圓心BP為半徑作⊙B，當(dāng)⊙A與⊙B相切時(shí)，求BP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）作出AM⊥CD，BN⊥CD，再利用已知得出AM=BN，AB=MN=4，DM=CN，進(jìn)而求出；又∵∠QCP=∠D=60°，即可得出答案；
（2）利用AB∥DC得出，表示出CE的長，進(jìn)而利用S_△APQ=S_△PQE+S_△AQE，得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）利用兩圓外切的性質(zhì)得出AQ+BP=AB，求出x的值，再利用當(dāng)⊙A與⊙B內(nèi)切時(shí)，|AQ-BP|=AB，求出即可．
解答：解：（1）過點(diǎn)A作AM⊥CD，M為垂足，過點(diǎn)B作BN⊥CD，N為垂足
根據(jù)題意得：AM=BN，
AB=MN=4，DM=CN，
在直角三角形△ABN中，
∵∠DCB=60°，BC=2，CN=1，BN=，
∴DM=1，AM=，
∴CD=6（2分），
∵點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，且CQ=2BP，
∴CP=1，CQ=2，DA=2，DQ=4，
∴
又∵∠QCP=∠D=60°，
∴△CPQ∽△DAQ（2分）；

（2）∵AB∥DC
∴，
∴
∴，
∴（2分），
如圖2，過點(diǎn)P作PH⊥CD交DC的延長線于H，
在直角三角形△CPH中，
∴∠PCH=60°，PC=x-2，，
∵S_△APQ=S_△PQE+S_△AQE
∴，
∴（2分）（2＜x≤3）（1分）；


（3）如備用圖，過點(diǎn)A作AM⊥CD于M，
∵DM=1，DQ=6-2x，
∴QM=|5-2x|
在直角三角形△AQM中，（1分），
當(dāng)⊙A與⊙B外切時(shí)，AQ+BP=AB，，
解得：x₁=x₂=2（2分），
當(dāng)⊙A與⊙B內(nèi)切時(shí)，|AQ-BP|=AB，
，
解得：，（舍去）（2分）
∴當(dāng)BP=2時(shí)，⊙A與⊙B外切；
當(dāng)時(shí)，⊙A與⊙B內(nèi)切．
點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定以及相切兩圓的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理等知識(shí)，此題綜合性較強(qiáng)，熟練應(yīng)用相切兩圓的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．