Question

已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，點E是AB的中點．
（1）如圖，P為BC上的一點，且BP=2．求證：△BEP∽△CPD；
（2）如果點P在BC邊上移動（點P與點B、C不重合），且滿足∠EPF=∠C，PF交直線CD于點F，同時交直線AD于點M，那么
①當點F在線段CD的延長線上時，設BP=x，DF=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
②當S△DMF=

9

4

S△BEP時，求BP的長．

Answer 1

分析：（1）欲證△BEP∽△CPD，可由梯形ABCD中AB=DC，得出∠B=∠C，根據(jù)相似三角形的判斷兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似，證明兩組對應邊的比相等即可；
（2）①求y關于x的函數(shù)解析式，通過證明△BEP∽△CPF，得出比例關系即可；
②求BP的長，分為兩種情況：當點F在線段CD的延長線上時，證明△BEP∽△DMF，根據(jù)S△DMF=

9

4

S△BEP，得到相似比，結合y=-

1

2

x2+3x-4（2＜x＜4）求解即可，當點F在線段CD上時，同前，求得當S△DMF=

9

4

S△BEP時，BP的長為1．

解答：（1）證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C．（1分）
BE=2，BP=2，CP=4，CD=4．
∴

EB

CP

=

BP

CD

．
∴△BEP∽△CPD．（2分）

（2）解：①∵∠B=∠C=∠EPF
∴180-∠B=180-∠EPF=∠BEP+∠BPE=∠BPE+∠CPF
∴∠BEP=∠FPC，（1分）
∴△BEP∽△CPF，
∴

EB

CP

=

BP

CF

．（1分）
∴

2

6-x

=

x

y+4

．（1分
∴y=-

1

2

x2+3x-4（2＜x＜4）．（2分）
②當點F在線段CD的延長線上時，
∵∠FDM=∠C=∠B，∠BEP=∠FPC=∠FMD，
∴△BEP∽△DMF．（1分）
∵S△DMF=

9

4

S△BEP，
∴

DF

BP

=

3

2

=

y

x

．（1分）
∵y=-

1

2

x2+3x-4，
∴x²-3x+8=0，△＜0．
∴此方程無實數(shù)根．
故當點F在線段CD的延長線上時，不存在點P使S△DMF=

9

4

S△BEP；（1分）
當點F在線段CD上時，同理△BEP∽△DMF，
∵S△DMF=

9

4

S△BEP，
∴

DF

BP

=

3

2

=

y

x

．
∵△BEP∽△CPF，
∴

EB

CP

=

BP

CF

．
∴

2

6-x

=

x

4-y

．（1分）
∴y=

1

2

x2-3x+4．
∴x²-9x+8=0，解得x₁=1，x₂=8．（1分）
由于x₂=8不合題意舍去．
∴x=1，即BP=1．（1分）
∴當S△DMF=

9

4

S△BEP時，BP的長為1．

點評：本題數(shù)形結合，考查了等腰梯形的性質，相似三角形的判定和性質，及二次函數(shù)的綜合運用．