Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線(xiàn)與⊙O的交點(diǎn)為D，DE⊥AC，與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E．
（1）求證：直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若OE與AD交于點(diǎn)F，，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據(jù)角平分線(xiàn)定義和等腰三角形性質(zhì)推行∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根據(jù)平行線(xiàn)性質(zhì)和切線(xiàn)的判定推出即可；
（2）連接BC，推出矩形ECGD，設(shè)AC=4a，AB=5a，求出OD、求出OG的長(zhǎng)，推出CE=DG，求出CE長(zhǎng)，求出AE，證△AEF和△OFD相似，得出比例式，代入求出即可．
解答：解：（1）證明：連接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn)．

（2）連接BC交OD于G，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴cos∠BAC==，
設(shè)AC=4a，AB=5a，由勾股定理得：BC=3a，
∴OA=OD=OB=2.5a，
∵∠ECG=90°=∠DEC=∠EDG，
∴四邊形ECGD是矩形，
：∵OG為△ABC中位線(xiàn)，
∴G為BC中點(diǎn)
∴DE=CG=1.5a，
∵OD∥AE，OA=OB，
∴CG=BG，
∴OG=AC=2a，
∴DG=EC=2.5a-2a=0.5a，
∴AE=AC+CE=4a+0.5a=4.5a，
∵OD∥AC，
∴△AEF∽△DOF，
∴==2．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，勾股定理，角平分線(xiàn)定義等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，題目較好，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，主要培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理的能力．