Question

如圖，固定一塊三角板，另一塊三角板按圖示開始平移至兩條較大直角邊重合時(shí)停止．（兩個(gè)同學(xué)為一組，利用30°角的三角板作圖形的平移運(yùn)動(dòng)）
（1）觀察平移過程中的重疊部分是什么圖形？你能把它畫出來嗎？
（2）分別求出平移距離為4cm或10cm時(shí)，重疊部分的面積．
（3）若平移的距離為x，當(dāng)x______時(shí)，重疊部分為三角形；當(dāng)x______時(shí)，重疊部分為五邊形．
（4）若重疊部分的面積為Scm³，請(qǐng)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）平移過程中的重疊部分是三角形或五邊形，如下圖：


（2）當(dāng)平移距離為4cm時(shí)，重疊部分是三角形OAA′，如右圖，此時(shí)AA′=4cm．
∵∠OAA′=∠OA′A=60°，
∴△OAA′是等邊三角形，
∴S_△OAA′=×4²=4（cm²）；
當(dāng)平移距離為10cm時(shí)，重疊部分是五邊形ODC′CE，如右圖，此時(shí)AA′=10cm．
∵AC=A′C′=7cm，
∴A′C=AC′=3cm，
∵∠A=∠A′=60°，∠AC′D=∠A′CE=90°，
∴C′D=CE=3cm．
∴S_{五邊形ODC′CE}=S_△OAA′-S_△AC′D-S_△A′CE=×10²-×3×3×2=25-9=16（cm²）；

（3）若平移的距離為x，當(dāng)x≤7cm時(shí)，重疊部分為三角形；當(dāng)x≥7cm時(shí)，重疊部分為五邊形；
故答案為≤7cm，≥7cm．

（4）分兩種情況討論：
①當(dāng)x≤7cm時(shí)，重疊部分為三角形OAA′，如右圖，此時(shí)AA′=x．
∵∠OAA′=∠OA′A=60°，
∴△OAA′是等邊三角形，
∴S=S_△OAA′=x²；
②當(dāng)14cm≥x≥7cm時(shí)，重疊部分是五邊形ODC′CE，如右圖，此時(shí)AA′=x．
∵AC=A′C′=7cm，
∴A′C=AC′=（x-7）cm，
∵∠A=∠A′=60°，∠AC′D=∠A′CE=90°，
∴C′D=CE=（x-7）cm．
∴S=S_{五邊形ODC′CE}=S_△OAA′-S_△AC′D-S_△A′CE=x²-×（x-7）×（x-7）×2=x²-（x-7）²=-x²+14x-49．
分析：（1）將右邊的一塊三角板固定，左邊的三角板從左往右平移，觀察發(fā)現(xiàn)，平移過程中的重疊部分，剛開始的三角形由小到大，后來是五邊形；
（2）根據(jù)平移距離為4cm或10cm時(shí)，重疊部分的圖形分別為三角形和五邊形，即可求出面積；
（3）由圖可知，當(dāng)x≤7cm時(shí)，重疊部分為三角形；當(dāng)x≥7cm時(shí)，重疊部分為五邊形；
（4）分兩種情況討論：①當(dāng)x≤7cm時(shí)，重疊部分為三角形；②當(dāng)14cm≥x≥7cm時(shí)，重疊部分為五邊形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平移的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，難度中等，得出重疊部分的圖形隨平移的距離x的變化而變化，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．