Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上，AC∥OB，BC⊥OB，過點A的雙曲線y=

k

x

的一支在第一象限交四邊形對角線OC于點D，交邊BC于點E．
（1）雙曲線的另一支在第

 

象限，k的取值范圍是

 

；
（2）若點C的坐標為（2，2），當點E在什么位置時，陰影部分的面積S最��？
（3）若

OD

OC

=

1

2

，S_△OAC=1，求雙曲線的表達式．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由雙曲線y=

k

x

的一支在第一象限，可得雙曲線的另一支在第三象限，k的取值范圍是：k＞0；
（2）由點C的坐標為（2，2），AC∥OB，BC⊥OB，可得點A（

k

2

，2），E（2，

k

2

），即可得S_陰影=S_△ACE+S_△OBE=

1

2

AC•CE+

1

2

k=

1

2

（2-

k

2

）²+

1

2

k=

1

8

（k-2）²+

3

2

，繼而求得答案；
（3）首先延長CA交y軸于點M，過點D作DN⊥y軸于點N，易得△ODN∽△OCM，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，可得

S△ODN

S△OCM

=（

OD

OC

）²=（

1

2

）²=

1

4

，又由S_△OAM=S_△ODN=

k

2

，S_△OAC=1，即可得：

k 2

1+ k 2

=

1

4

，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵雙曲線y=

k

x

的一支在第一象限，
∴雙曲線的另一支在第三象限，k的取值范圍是：k＞0；
故答案為：三，k＞0；

（2）∵點C的坐標為（2，2），AC∥OB，BC⊥OB，
∴點A（

k

2

，2），E（2，

k

2

），
∴AC=2-

k

2

，CE=2-

k

2

，
∴S_陰影=S_△ACE+S_△OBE=

1

2

AC•CE+

1

2

k=

1

2

（2-

k

2

）²+

1

2

k=

1

8

（k-2）²+

3

2

，
∴當k=2時，陰影部分的面積S最小，
此時點E的坐標為：（2，1）；

（3）延長CA交y軸于點M，過點D作DN⊥y軸于點N，
∴DN∥OB，BC⊥OB，
∵AC∥OB，CM⊥y軸，
∴△ODN∽△OCM，
∴

S△ODN

S△OCM

=（

OD

OC

）²=（

1

2

）²=

1

4

，
∵點A與點D在雙曲線y=

k

x

的圖象上，
∴S_△OAM=S_△ODN=

k

2

，
∵S_△OAC=1，
∴

k 2

1+ k 2

=

1

4

，
解得：k=

2

3

．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．