Question

如圖：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在x軸上，頂點(diǎn)B（4，2）在拋物線y=ax²+bx上，且拋物線交x軸于另一點(diǎn)D（6，0），拋物線的對(duì)稱軸交BC邊于E，直線AE分別交y軸于F、交OB于P．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式；
（2）若以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑作⊙O，試判斷AE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若動(dòng)直線MN⊥x軸于N交拋物線于M，且在y軸的右側(cè)運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)M使得△AMN與△ABP相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將B、D的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過(guò)聯(lián)立方程組即可確定該拋物線的解析式．
（2）由圖觀察，⊙O可能與直線AE相切，然后著手證明，分析圖形可知通過(guò)相似來(lái)證明OP⊥AE較簡(jiǎn)單；由于O、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，即可確定該拋物線對(duì)稱軸方程，進(jìn)而可得到CE、BE的長(zhǎng)，根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)易求出AB、OA的長(zhǎng)，通過(guò)證△ABE∽△OAB，可得到∠AEB=∠ABO，而∠ABE、∠BAE互余，那么∠BAE和∠ABP互余，由此可證得∠APB=90°即AE⊥OP，已知OP是⊙P的半徑，即可證得直線AE與⊙O相切．
（3）此題較復(fù)雜，應(yīng)該分情況討論；首先易證得△ABP∽△BEP，即可得到BP、AP的比例關(guān)系為AP=2BP，若△AMN和△ABP相似，那么MN=2AN或AN=2MN，然后設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)；然后表示出MN、AN的表達(dá)式，根據(jù)①N在點(diǎn)A左側(cè)，②N在點(diǎn)A右側(cè)兩種情況下AN的不同表達(dá)式，以及上面所得AN、MN的等量關(guān)系，列方程求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．（注意：②中應(yīng)該分M在x軸上方和x軸下方兩種情況求解．）

解答：解：（1）由題意知：拋物線經(jīng)過(guò)B（4，2），D（6，0），則有：

16a+4b=2 36a+6b=0

，
解得

a=- 1 4 b= 3 2

；
∴拋物線的解析式為：y=-

1

4

x2+

3

2

x．

（2）相切，理由如下：
∵O（0，0）、D（6，0），且O、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴該拋物線的對(duì)稱軸為：x=3；
故CE=3，BE=1；
又∵OA=4，AB=2，
∴

BE

AB

=

AB

OA

=2；
∵∠ABE=∠OAB=90°，
∴△ABE∽△OAB，
故∠AEB=∠OBA；
∵∠AEB=∠BAP=90°，則∠BAP+∠OBA=90°，
∴∠APB=90°，即AE⊥OP；
而OP為⊙O的直徑，故直線AE與⊙P相切．

（3）假設(shè)存在符合條件的M點(diǎn)，
設(shè)N（a，0），則M（a，-

1

4

a²+

3

2

a）；
由（2）知AE⊥OP，在Rt△ABP中，則有：
△BPE∽△APB，
故AP：PB=AB：BE=2：1，即AP=2PB；
若△AMN與△ABP相似，則AN=2MN或MN=2AN；
①當(dāng)點(diǎn)N在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)（0＜a＜4），AN=4-a，MN=-

1

4

a²+

3

2

a；
當(dāng)AN=2MN時(shí)，4-a=2（-

1

4

a²+

3

2

a），解得：a=4+2

2

（舍去），a=4-2

2

；
當(dāng)MN=2AN時(shí)，2（4-a）=-

1

4

a²+

3

2

a，解得：a=7+

17

（舍去），a=7-

17

；
故M（7-

17

，2

17

-6）或M（4-2

2

，

2

）；
②當(dāng)點(diǎn)N在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)；
1）當(dāng)M在x軸上方時(shí)（4＜a＜6），AN=a-4，MN=-

1

4

a²+

3

2

a；
當(dāng)AN=2MN時(shí)，a-4=2（-

1

4

a²+

3

2

a），解得：a=2-2

3

（舍去），a=2+2

3

；
當(dāng)MN=2AN時(shí)，2（a-4）=-

1

4

a²+

3

2

a，解得：a=-1-

33

（舍去），a=-1+

33

；
故M（-1+

33

，2

33

-10）或M（2+2

3

，

3

-1）；
2）當(dāng)M在x軸下方時(shí)（a＞6），AN=a-4，MN=

1

4

a²-

3

2

a；
當(dāng)AN=2MN時(shí)，a-4=2（

1

4

a²-

3

2

a），解得：a=4-2

2

（舍去），a=4+2

2

；
當(dāng)MN=2AN時(shí)，2（a-4）=

1

4

a²-

3

2

a，解得：a=7-

17

（舍去），a=7+

17

；
故M（4+2

2

，-

2

）或M（7+

7

，-2

17

-6）；
綜上所述，存在六個(gè)符合條件的M點(diǎn)，且它們的坐標(biāo)為：
M1(7-

17

，2

17

-6)、M2(7+

17

，-2

17

-6)、M3(4-2

2

，

2

)、M4(4+2

2

，-

2

)、M5(-1+

33

，2

33

-10)、M₆（2+2

3

，

3

-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到：矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)．（3）題中，由于相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角以及M點(diǎn)的位置也不明確，一定要分類討論，以免漏解．