Question

20．如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∠DAB的角平分線交邊CD于點E．點P在射線AE上以每秒$\sqrt{2}$個單位長度的速度沿射線AE方向從點A開始運動，過點P作PQ⊥AB于點Q，以PQ為邊向右作平行四邊形PQMN，點N在射線AE上，且AP=PN．設(shè)P點運動時間為t秒．
（1）當(dāng)點M落在BC上時，求線段PQ的長．
（2）當(dāng)點C落在平行四邊形PQMN的對角線上時，求t的值．
（3）設(shè)平行四邊形PQMN與矩形ABCD重合部分面積為S，當(dāng)點P在線段AE上運動時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（4）直接寫出在點P、Q運動的過程中，整個圖形中形成的三角形存在全等三角形時t的值（不添加任何輔助線）．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，當(dāng)點M在BC上時，只要證明AQ=QB即可解決問題．
（2）①當(dāng)點C落在對角線PM上時，點P與點E重合，如圖2中，此時，AP=3$\sqrt{2}$，由此解決問題．②當(dāng)點C落在對角線NQ上時，如圖3中，延長NM交AB的延長線于G，只要證明BC=2QB即可列出方程解決問題．
（3）分三種情形討論①如圖4中，當(dāng)0＜t≤$\frac{3}{2}$時，重疊部分是平行四邊形PQMN．②如圖5中，當(dāng)$\frac{3}{2}$＜t≤2時，重疊部分是五邊形PQMGE．③如圖6中，當(dāng)2＜t≤3時，重疊部分是五邊形PQGCE，延長QP交CD于K．分別求解即可．
（4）分三種情形討論即可）①如圖7中，當(dāng)點Q是AB中點時，△APQ≌△QMB．②如圖8中，當(dāng)點P與點E重合時，△APQ≌△AED．③如圖9中，當(dāng)△PEK≌△QGB時，分別求解即可．

解答 解：（1）如圖1中，

當(dāng)點M在BC上時，∵PQ∥BN，AP=PN，
∴AQ=QB，∵AB=4，
∴AQ=2，AP=$\sqrt{2}$AQ=2$\sqrt{2}$．

（2）①當(dāng)點C落在對角線PM上時，點P與點E重合，如圖2中，

此時，AP=3$\sqrt{2}$，
∴t=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3，
②當(dāng)點C落在對角線NQ上時，如圖3中，延長NM交AB的延長線于G．

∵BC∥NG，
∴$\frac{BC}{GN}$=$\frac{QB}{QG}$，
∴$\frac{QB}{BC}$=$\frac{QG}{GN}$=$\frac{1}{2}$，
∴3=2（4-t），
∴t=$\frac{5}{2}$，
綜上所述當(dāng)t=$\frac{5}{2}$或3s時，點C在行四邊形PQMN的對角線上．

（3）①如圖4中，當(dāng)0＜t≤$\frac{3}{2}$時，重疊部分是平行四邊形PQMN，S=t²，

②如圖5中，當(dāng)$\frac{3}{2}$＜t≤2時，重疊部分是五邊形PQMGE，

S=S_{平行四邊形PQMN}-S_△NGE=t²-$\frac{1}{2}$[$\frac{2\sqrt{2}t-3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$]²=-t²+6t-$\frac{9}{2}$．
③如圖6中，當(dāng)2＜t≤3時，重疊部分是五邊形PQGCE，延長QP交CD于K．

S=S_矩形QBCK-S_△KPE-S_△QBG=3（4-t）-$\frac{1}{2}$（$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{2}t}{\sqrt{2}}$）²-$\frac{1}{2}$（4-t）²=-t²+4t-$\frac{1}{2}$，
綜上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{3}{2}）}\\{-{t}^{2}+6t-\frac{9}{2}}&{（\frac{3}{2}＜t≤2）}\\{-{t}^{2}+4t-\frac{1}{2}}&{（2＜t≤3）}\end{array}\right.$．


（4）①如圖7中，當(dāng)點Q是AB中點時，△APQ≌△QMB，此時t=2．

②如圖8中，當(dāng)點P與點E重合時，△APQ≌△AED，此時t=3．

③如圖9中，當(dāng)△PEK≌△QGB時，由EK=BQ得到，$\frac{\sqrt{2}t-3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=4-t，解得t=$\frac{7}{2}$，

綜上所述t=2s或3s或$\frac{7}{2}$s時，整個圖形中形成的三角形存在全等三角形．

點評 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平移變換、全等三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，學(xué)會畫好圖形，學(xué)會利用分割法求面積，屬于中考壓軸題．