Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，以腰AC、BC為邊向外作等邊△ACD和△BCE，AE與BD相交于點(diǎn)F，連接CF并延長，交AB于點(diǎn)G．求證：
（1）△ABD≌△BAE；
（2）CG是線段AB的垂直平分線．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)，證明AD=BE，∠DAB=∠CBA，由AB=AB，證明△ABD≌△BAE；
（2）先證明點(diǎn)F在AB的垂直平分線上，再證明點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，從而證明CG是線段AB的垂直平分線．

解答：證明：（1）∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵△ACD和△BCE是等邊三角形，
∴∠DAC=∠CBE=60°，AD=AC，BE=AC，
∴AD=BE，
∴∠CAB+∠DAC=∠CBA+∠CBE，
即：∠DAB=∠CBA，
在△ABD和△BAE中，

AD=BE ∠DAB=∠EBA AB=AB

，
∴△ABD≌△BAE（SAS）；
（2）∵△ABD≌△BAE，
∴∠EAB=∠DBA，
∴點(diǎn)F在AB的垂直平分線上，
又∵CA=CB，
∴點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，
∴CF是線段AB的垂直平分線，
即CG是線段AB的垂直平分線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰或等邊三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形尋找證明三角形全等的條件，另外證明直線是線段的垂直平分線，必須證明直線上的兩個(gè)點(diǎn)都在線段的垂直平分線上．