Question

11．在平面直角坐標系中，點 A（-2，0），B（2，0），C（0，2），點 D，點E分別是 AC，BC的中點，將△CDE繞點C逆時針旋轉得到△CD′E′，及旋轉角為α，連接 AD′，BE′．
（1）如圖①，若 0°＜α＜90°，當 AD′∥CE′時，求α的大��；
（2）如圖②，若 90°＜α＜180°，當點 D′落在線段 BE′上時，求 sin∠CBE′的值；
（3）若直線AD′與直線BE′相交于點P，求點P的橫坐標m的取值范圍（直接寫出結果即可）．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，首先判斷△AD′C是直角三角形，再根據(jù)AC=2CD′推出∠CAD′=30°由此即可解決問題．
（2）如圖2中，作CK⊥BE′于K，求出CK，根據(jù)sin∠CBE′=$\frac{CK}{BC}$即可解決問題．
（3）根據(jù)圖3、圖4分別求出點P橫坐標的最大值以及最小值即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵AD′∥CE′，
∴∠AD′C=∠E′CD′=90°，
∵AC=2CD′，
∴∠CAD′=30°，
∴∠ACD′=90°-∠CAD′=60°，
∴α=60°．

（2）如圖2中，作CK⊥BE′于K．

∵AC=BC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴CD′=CE′=$\sqrt{2}$，
∵△CD′E′是等腰直角三角形，CD′=CE′=$\sqrt{2}$，
∴D′E′=2，
∵CK⊥D′E′，
∴KD′=E′K，
∴CK=$\frac{1}{2}$D′E′=1，
∴sin∠CBE′=$\frac{CK}{BC}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

（3）如圖3中，以C為圓心$\sqrt{2}$為半徑作⊙C，當BE′與⊙C相切時AP最長，則四邊形CD′PE′是正方形，作PH⊥AB于H．

∵AP=AD′+PD′=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
∵cos∠PAB=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AH}{AP}$，
∴AH=2+$\sqrt{3}$，
∴點P橫坐標的最大值為$\sqrt{3}$．
如圖4中，當BE′與⊙C相切時AP最短，則四邊形CD′PE′是正方形，作PH⊥AB于H．

根據(jù)對稱性可知OH=$\sqrt{3}$，
∴點P橫坐標的最小值為-$\sqrt{3}$，
∴點P橫坐標的取值范圍為-$\sqrt{3}$≤m≤$\sqrt{3}$．

點評 本題考查幾何變換、等腰直角三角形的性質、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會正確畫出圖形，學會分類討論，找到點P橫坐標的最大值、最小值是解題的難點，屬于中考壓軸題．