Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)；拋物線過，兩點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線上方的拋物線上有一動點(diǎn)，求出點(diǎn)到直線的距離的最大值；

（3）如圖②，直線與拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)，請直接寫出的平分線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）先求出點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過作于，

則點(diǎn)到的距離為，利用得出，設(shè)，，表示出的長度表達(dá)式，進(jìn)而得出的表達(dá)式，利用二次函數(shù)性質(zhì)得出的最值；

（3）設(shè)的平分線為,過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)角平分線分線段成比例得：，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出DP的關(guān)系式，從而得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）在中，當(dāng)時，；當(dāng)時，，

點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，

將，代入得

，解得

拋物線的解析式為

（2）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過作于，

則點(diǎn)到的距離為，

又，

，，

在中，，，

由勾股定理得，，

，，

設(shè)，，

則

當(dāng)時，點(diǎn)到直線的距離的最大值為．

（3）

設(shè)的平分線為,過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

∵拋物線的解析式為，

∴，，

∴，，

根據(jù)角平分線分線段成比例得：，

∴，即：，

∵對稱軸是直線，

∴，

∴，

∴，

設(shè)的關(guān)系式為，

把，代入得：

，解得：，

∴的關(guān)系式為

令，得：，

∴．