Question

在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，且c=5

3

，若關(guān)于x的方程（5

3

+b）x²+2ax+（5

3

-b）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，又方程2x²-（10sinA）x+5sinA=0的兩實(shí)數(shù)根的平方和為6，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：在與一元二次方程有關(guān)的求值問題中，必須滿足下列條件：（1）二次項(xiàng)系數(shù)不為零；（2）有相等的實(shí)數(shù)根必須滿足△=b²-4ac=0．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出∠A的正弦，運(yùn)用三角函數(shù)及勾股定理求出a，b的長度，從而求出△ABC的面積．

解答：解：∵方程（5

3

+b）x²+2ax+（5

3

-b）=0有相等實(shí)數(shù)根，
∴△=（2a）²-4（5

3

+b）（5

3

-b）=0．
得a²+b²=75．
∵C²=75，∴a²+b²=c²．
故△ABC是直角三角形，且∠C=90°．                         （2分）
設(shè)x₁、x₂是2x²-（10sinA）x+5sinA=0的兩實(shí)數(shù)根，
則x₁+x₂=5sinA，x₁•x₂=

5

2

sinA．
∵x₁²+x₂²=6，而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂
∴（5sinA）²-5sinA-6=0．
解得sinA=

3

5

，或sinA=-

2

5

（舍去）．                         （5分）
在Rt△ABC中，
C=5

3

，a=c•sinA=3

3

，b=

c2-a2

=4

3

故S_△ABC=

1

2

ab=18．                                        （8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用．切記不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件．同時(shí)考查了三角函數(shù)及勾股定理．