Question

在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE．

（1）如圖1．連接BE、CD，BE與CD交于點O，
①證明：DC=BE；
②∠BOC=

 

°． （直接填答案）
（2）如圖2，連接DE，交AB于點F．DF與EF相等嗎？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）①等邊△ABD和等邊△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，所以，△DAC≌△BAE，則DC=BE；
②因為△DAC≌△BAE，則∠CDA=∠EBA，又∠A=30°，所以，∠BAE=∠BAC+CAE=30°+60°=90°，在四邊形ODAE中，∠ODA+∠OEA=90°，所以，可求得∠BOC=∠DOE=360°-90°-60°-90°=120°；
（2）如圖，作DG∥AE，由（1）得，∠FAE=90°，所以，∠DGF=90°，易證△DGB≌△ACB，得DG=AC，所以，DG=AE，所以，△DGF≌△EAF，所以，DF=EF；

解答：證明：（1）①∵△ABD和△ACE是等邊三角形，
∴AB=AD，AC=AE，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE；
②∠BOC=120°；

（2）如圖，作DG∥AE，
由（1）得，∠FAE=90°，
∴∠DGF=90°，
在△DGB和△ACB中，

∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB

，
∴△DGB≌△ACB，
∴DG=AC，
∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，

∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA

，
∴△DGF≌△EAF，
∴DF=EF．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具；在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．