Question

課本第五冊第65頁有一題：
已知一元二次方程ax²-

2

bx+c=0的兩個根滿足|x₁-x₂|=

2

，且a，b，c分別是△ABC的∠A，∠B，∠C的對邊．若a=c，求∠B的度數(shù)．
小敏解得此題的正確答案“∠B=120°”后，思考以下問題，請你幫助解答．
（1）若在原題中，將方程改為ax²-

3

bx+c=0，要得到∠B=120°，而條件“a=c”不變，那么應對條件中的|x₁-x₂|的值作怎樣的改變并說明理由；
（2）若在原題中，將方程改為ax²-

n

bx+c=0（n為正整數(shù)，n≥2），要得到∠B=120°，而條件“a=c”不變，那么條件中的|x₁-x₂|的值應改為多少？（不必說明理由）

Answer 1

分析：（1）因為∠B=120°，a=c，所以b=

3

a，代入原方程得△=5a²＞0，故可根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系解答；
（2）同（1）．

解答：解：（1）∵∠B=120°，a=c．
∴b=

3

a．
則原方程可化為ax²-3ax+a=0．
△=9a²-4a²=5a²＞0．
又∵|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

3b2 a2 - 4c a

．
∴|x₁-x₂|=

5

；

（2）若∠B=120°．
則b=

3

a代入原方程得ax²-

3n

ax+c=0．
由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得，x₁+x₂=

3n a

a

=

3n

．
x₁•x₂=

c

a

=1．
故|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( 3n )2-4

=

3n-4

．

點評：解決本題的關鍵是根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，求出方程的兩根的和與兩根的積，理解|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

這一等量關系．