Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC=120°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）如圖2，將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且OM恰好平分∠BOC．此時(shí)∠AOM=_______度；

（2）如圖3，繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得ON在∠AOC的內(nèi)部．探究∠AOM與∠NOC之間數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由；

（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒10°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，若直線ON恰好平分∠AOC，則此時(shí)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是多少秒？

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）∠AOM-∠NOC=30°；（3）6或24秒．

【解析】

（1）先根據(jù)角平分線的定義求出∠BOM的度數(shù)，繼而根據(jù)平角的定義進(jìn)行求解即可；

（2）結(jié)論：∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：根據(jù)平角定義先求出∠AOC的度數(shù)，繼而根據(jù)角的和差得到90°-∠AOM=60°-∠NOC，由此求解即可；

（3）設(shè)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是x秒，分ON的反向延長(zhǎng)線OF平分∠AOC和ON的平分∠AOC兩種情況分別畫出圖形進(jìn)行解答即可.

（1）∵OM恰好平分∠BOC，∠BOC=120°，

∴∠BOM=∠BOC=120°÷2=60°，

∴∠AOM=180°-60°=120°；

（2）如圖，∠AOM-∠NOC=30°，理由如下：

∵∠BOC=120°，

∴∠AOC=180°-∠BOC=60°，

∵∠AON=∠MON-∠AOM=90°-∠AOM，

∠AON=∠AOC-∠NOC=60°-∠NOC，

∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，

∴∠AOM-∠NOC=30°；

（3）設(shè)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是x秒，

∵∠BOC=120°，

∴∠AOC=60°，

如圖a，當(dāng)ON的反向延長(zhǎng)線OF平分∠AOC時(shí)，∠AOF=∠AOC=30°，

∴∠BON=∠AOF=30°，

∴∠BOM=90°-∠BON=60°，

∴10x=60，

∴x=6；

如圖b，當(dāng)ON平分∠AOC時(shí)，∠CON=∠AOC=30°，

∴ON旋轉(zhuǎn)的角度是90°+150°+30°=240°，

∴10x=240，

∴x=24，

綜上，x=6或x=24，

即此時(shí)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是6或24秒．