Question

如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．
（1）求證：△ABE≌△DFA；
（2）若AD=5，AB=3，求：tan∠DEF的值．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),解直角三角形

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，求出∠DAF=∠AEB，AD=AE，∠AFD=∠B=90°，根據(jù)AAS證出三角形全等即可．
（2）根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出AB=DF=3，AE=AD=5，在Rt△AFD中，有勾股定理求出AF=4，求出EF=1，即可求出答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵AE=BC，
∴AD=AE，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°，
在△ABE和△DFA中

∠AEB=∠DAF ∠B=∠AFD AE=AD

∴△ABE≌△DFA．

（2）解：∵△ABE≌△DFA，AD=5，AB=3，
∴AB=DF=3，AE=AD=5，
在Rt△AFD中，有勾股定理得：AF=

52-32

=4，
∴EF=5-4=1，
∴tan∠DEF=

DF

EF

=

3

1

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力．