Question

（1）如圖1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中點(diǎn)．直接寫出∠BMD與∠ADM的倍數(shù)關(guān)系；

（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形， AB=2BC，M是AB的中點(diǎn)，過C作CE⊥AD與AD所在直線交于點(diǎn)E．

①若∠A為銳角，則∠BME與∠AEM有怎樣的倍數(shù)關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論成立；

當(dāng) 時(shí)，上述結(jié)論不成立．

 

Answer 1

【答案】

（1）∠BMD= 3 ∠ADM                         

（2）聯(lián)結(jié)CM，取CE的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)MF，交DC于N

∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴MF∥AE∥BC，

∴∠AEM=∠1，∠2=∠4，

∵AB=2BC，∴BM=BC，∴∠3=∠4.            

∵CE⊥AE，∴MF⊥EC，又∵F是EC的中點(diǎn)，

∴ME=MC，∴∠1=∠2. 

∴∠1=∠2=∠3.

∴∠BME =3∠AEM.   

（3）當(dāng)0°<∠A<120°時(shí)，結(jié)論成立；

當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立.

【解析】（1）求出AM=AD，得到△ADM是等腰直角三角形，然后求出∠BMD與∠ADM的度數(shù)，從而得解；

（2）①連接CM，取CE的中點(diǎn)F，連接MF，交DC于N，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得MF∥AE∥BC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AEM=∠1，∠2=∠4，再根據(jù)AB=2BC，M是AB的中點(diǎn)，利用等邊對等角的性質(zhì)求出∠3=∠4，根據(jù)三角形三線合一的性質(zhì)求出∠1=∠2，從而得解；

②求出當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)的∠A的度數(shù)，即為臨界值，小于臨界值，點(diǎn)E在射線AD上，成立，否則不成立．