Question

如圖，在平面直角坐標系中，當(dāng)三角形直角頂點P坐標為（3，3）時，設(shè)一直角邊與x軸的正半軸交于點A，另一直角邊與y軸交于點B，在三角板繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，使得△POA為等腰三角形．請寫出所有滿足條件的點B的坐標

（0，3），（0，0），（0，6-3

2

）

．

Answer 1

分析：由P坐標為（3，3），可得∠AOP=45°，然后分別從OA=PA，OP=PA，OA=OP去分析求解即可求得答案．

解答：解：∵P坐標為（3，3），
∴∠AOP=45°，
①如圖1，若OA=PA，則∠AOP=∠OPA=45°，
∴∠OAP=90°，
即PA⊥x軸，
∵∠APB=90°，
∴PB⊥y軸，
∴點B的坐標為：（0，3）；
②如圖2，若OP=PA，則∠AOP=∠OAP=45°，
∴∠OPA=90°，
∵∠BPA=90°，
∴點B與點O重合，
∴點B的坐標為（0，0）；
③如圖3，若OA=OP，則∠OPA=∠OAP=

180°-∠AOP

2

=67.5°，
過點P作PC⊥y軸于點C，過點B作BD⊥OP于點D，
則PC∥OA，
∴∠OPC=∠AOP=45°，
∵∠APB=90°，
∴∠OPB=∠APB-∠OPA=22.5°，
∴∠OPB=∠CPB=22.5°，
∴BC=BD，
設(shè)OB=a，
則BD=BC=3-a，
∵∠BOP=45°，
在Rt△OBD中，BD=OB•sin45°，
即3-a=

2

2

a，
解得：a=6-3

2

．
綜上可得：點B的坐標為：（0，3），（0，0），（0，6-3

2

）．
故答案為：（0，3），（0，0），（0，6-3

2

）．

點評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．