Question

已知△ABC內接于⊙O，AC是⊙O的直徑，D是的中點．過點D作CB的垂線，分別交CB、CA延長線于點F、E．
（1）判斷直線EF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若CF=6，∠ACB=60°，求陰影部分的面積．

Answer 1

解：（1）直線EF與圓O相切，理由為：
連接OD，如圖所示：
∵AC為圓O的直徑，∴∠CBA=90°，
又∵∠F=90°，
∴∠CBA=∠F=90°，
∴AB∥EF，
∴∠AMO=∠EDO，
又∵D為的中點，
∴=，
∴OD⊥AB，
∴∠AMO=90°，
∴∠EDO=90°，
則EF為圓O的切線；

（2）在Rt△AEF中，∠ACB=60°，∴∠E=30°，
又∵CF=6，
∴CE=2CF=12，
根據勾股定理得：EF==6，
在Rt△ODE中，∠E=30°，
∴OD=OE，又OA=OE，
∴OA=AE=OC=CE=4，OE=8，
又∵∠ODE=∠F=90°，∠E=∠E，
∴△ODE∽△CFE，
∴=，即=，
解得：DE=4，
又∵Rt△ODE中，∠E=30°，
∴∠DOE=60°，
則S_陰影=S_△ODE-S_扇形OAD=×4×4-=8-．
分析：（1）直線EF與圓O相切，理由為：連接OD，由AC為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角可得出∠CBA為直角，再由CF垂直于FE，得到∠F為直角，根據同位角相等兩直線平行可得出AB與EF平行，再由D為的中點，利用垂徑定理的逆定理得到OD垂直于AB，可得出∠AMO為直角，根據兩直線平行同位角相等可得出∠ODE為直角，則EF為圓O的切線；
（2）在直角三角形CFE中，由CF的長，及∠E為30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出CE的長，再利用勾股定理求出EF的長，在直角三角形ODE中，由∠E為30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到OE=2OD，又OE=OA+AE，可得出AE=OA=OC，由CE的長求出半徑OA的長，及OE的長，又OD垂直于EF，CF垂直于EF，得到一對直角相等，再由一對公共角相等，可得出三角形ODE與三角形CFE相似，根據相似得比例，將各自的值代入求出DE的長，再由∠E為30°求出∠DOE為60°，然后由陰影部分的面積=三角形ODE的面積-扇形OAD的面積，利用三角形的面積公式及扇形的面積公式計算即可得到陰影部分的面積．
點評：此題考查了切線的性質，圓周角定理，平行線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，含30°角直角三角形的性質，勾股定理，垂徑定理的逆定理，以及扇形面積的求法，熟練掌握性質與定理是解本題的關鍵．