Question

如圖①，正方形ABCD中，∠FOE=90°，頂點(diǎn)O與D點(diǎn)重合，交直線BC于E，交直線BA于F．
（1）求證：OF=OE；
（2）如圖②，若O點(diǎn)在射線BD上運(yùn)動(dòng)，其它條件不變，上述結(jié)論是否仍然成立？畫出圖形，直接寫出結(jié)論；
（3）如圖③，O為正方形ABCD對(duì)角線的中點(diǎn)，∠FOE=90°且繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，交BC、CD邊于F、E點(diǎn)．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠EDC=∠FDA，∠C=∠FAD，OC=OA，
∴△OEC≌△OFA，
∴OF=OE．

（2）OF=OE仍然成立．
如圖：作OH⊥AF，OG⊥EC，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知，∠FOH=∠EOG，
易得，OH=OG，
又∵∠FHO=∠GEO，
∴△FHO≌△EGO，
∴OF=OE．

（3）作OM⊥BC于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMF=∠ONE，OM=ON=CD，∠MOF=∠NOE=90°-∠FON，
∴△OMF≌△ONE，
∴OF=OE．
分析：（1）由于旋轉(zhuǎn)后角不變，根據(jù)ASA證明；
（2）證明方法同（1）；
（3）作輔助線構(gòu)造直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題利用了角的旋轉(zhuǎn)不變性，無論怎樣轉(zhuǎn)，直角三角形的度數(shù)不變，可以以此利用三角形全等來證明．