Question

【題目】將一個(gè)直角三角形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn).是邊上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），沿著折疊該紙片，得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在第一象限，且滿足時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖②，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A’的坐標(biāo)為（，1）；（2）1；（3）或 .

【解析】

試題分析：（1）因點(diǎn)，點(diǎn)，可得OA= ,OB=1，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得△A’OP≌△AOP，由全等三角形的性質(zhì)可得OA’=OA=,在Rt△A’OB中，根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理求得AB=2，再證△BOP是等邊三角形，從而得∠OPA =120°.在判定四邊形OPA’B是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得的長(zhǎng)；

試題解析：（1）因點(diǎn)，點(diǎn)，

∴OA= ,OB=1.

根據(jù)題意，由折疊的性質(zhì)可得△A’OP≌△AOP.

∴OA’=OA=,

由，得∠A’BO=90°.

在Rt△A’OB中，,

∴點(diǎn)A’的坐標(biāo)為（，1）.

(2) 在Rt△AOB中，OA= ,OB=1,

∴

∵當(dāng)為中點(diǎn)，

∴AP=BP=1,OP=AB=1.

∴OP=OB=BP,

∴△BOP是等邊三角形

∴∠BOP=∠BPO=60°，

∴∠OPA=180°-∠BPO=120°.

由（1）知，△A’OP≌△AOP，

∴∠OPA’=∠OPA=120°，P’A=PA=1，

又OB=PA’=1，

∴四邊形OPA’B是平行四邊形.

∴A’B=OP=1.

(3)或 .