Question

如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于E，D在線段AB上，AD=AC，AF平分∠CAE交CE于F．

（1）求證：FD∥CB；

（2）若D在線段BA的延長(zhǎng)線上，AF是∠CAD的角平分線AM的反向延長(zhǎng)線，其他條件不變，如圖2，問（1）中結(jié)論是否仍成立？并說明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）易證∠DAF=∠CAF，即可證明△DAF≌△CAF，可得∠ACE=∠ADF，易證∠B=∠ACE，即可求得∠ADF=∠B，即可解題；

（2）作AG⊥DF，易證AE=AG，即可證明RT△ADG≌RT△AEC，可得∠D=∠ACE，易證∠ACE=∠B，即可求得∠D=∠B，即可解題．

【解答】證明：（1）∵AF平分∠CAE，

∴∠DAF=∠CAF，

在△DAF和△CAF中，

，

∴△DAF≌△CAF（SAS），

∴∠ACE=∠ADF，

∵∠ACE+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，

∴∠B=∠ACE，

∴∠ADF=∠B，

∴DF∥BC；

（2）作AG⊥DF，如圖2，

∵AF平分∠CAE，CE⊥AE，

∴AE=AG，

在RT△ADG和RT△AEC中，

，

∴RT△ADG≌RT△AEC（HL），

∴∠D=∠ACE，

∵∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠B=90°，

∴∠ACE=∠B，

∴∠D=∠B，

∴DF∥BC．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△DAF≌△CAF和RT△ADG≌RT△AEC是解題的關(guān)鍵．