Question

20、某班數(shù)學(xué)興趣小組在一次學(xué)習(xí)研討中，興奮地發(fā)現(xiàn)一個(gè)真命題，內(nèi)容如下：
如圖（1），正三角形ABC中，在AB，AC邊上分別取點(diǎn)M，N，使BM=AN，連接BN，CM，那么BN=CM，且∠NOC=60°．
（1）請(qǐng)證明上述真命題．
（2）請(qǐng)你運(yùn)用類比的思想，大膽猜測(cè)，在橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容，得到一個(gè)類似的真命題：
如圖（2），正方形ABCD中，在AB，BC邊上分別取點(diǎn)M，N，使AM=BN，連接AN，DM，那么AN=

DM

，且∠DON=

90

度（不要求證明）．

Answer 1

分析：（1）由△ABC是正三角形與AN=BM，易證得△ABN≌△BCM（SAS），由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，即可得∠ANB=∠BMC，又由∠ANB+∠ABN=180°-∠A=120°，由三角形的內(nèi)角和定理，即可證得∠NOC=60°．
（2）由四邊形ABCD是正方形與AM=BN，易證得△DAM≌△ABN（SAS），然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，求得AN=DM，∠AMD=∠BNA，又由∠BAN+∠BNA=90°，即可得∠DON=90°．

解答：解：（1）證明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC，
∵AN=BM，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴BN=CM，∠ANB=∠BMC，
∵∠ANB+∠ABN=180°-∠A=120°，
∴∠BMO+∠ABN=120°，
∴∠BOM=60°，
∴∠NOC=∠BOM=60°；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，AD=BD，
∵AM=BN，
∴△DAM≌△ABN（SAS），
∴AN=DM，∠AMD=∠BNA，
∵∠BAN+∠BNA=90°，
∴∠BAN+∠AMD=90°，
∴∠AOM=90°，
∴∠DON=∠AOM=90°．
故答案為：DM，90．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正三角形與正方形的性質(zhì)．題目綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．